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Démonstration de limites de suites



  1. #1
    ma92

    Démonstration de limites de suites


    ------

    Voila je galère un peu sur cette démo de cours:
    Soit u et v 2 suites réelles divergeant vers +oo.
    1/ Montrer que u+v diverge vers +oo
    2/ Montrer que u.v diverge vers +oo

    Pour la question 1, il faut montrer que:
    pour tout A de R, il existe n1 € N tel que pour tout n>n1, (u+v)>A

    Pour la question 2 , c'est la mm chose avec (u.v)>A

    On commence par soit A un élément de R.......mais ensuite je bloque

    ça serait super sympa si vous pouviez m'aider

    -----

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  3. #2
    dajety

    Re : Démonstration de limites de suites

    il faut utiliser u diverge vers + infi :
    -il existe n1 / pour tout n > n1 un > A/2
    il existe n2 / pour tout n >n2 vn> A/2
    Si n> sup ( n1 ; n2 ) alors un + vn >...

  4. #3
    ma92

    Re : Démonstration de limites de suites

    pquoi A/2 ?? et pquoi pose t-on le mm réel pour u et v??

  5. #4
    dajety

    Re : Démonstration de limites de suites

    parceque si un>A/2 et vn>A/2 un + vn > A/2 + A/2= A

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    dajety

    Re : Démonstration de limites de suites

    le A en question est ton A du début

  8. #6
    ma92

    Re : Démonstration de limites de suites

    ne devrait on pas prendre un> A/2 et Vn> B/2 ??

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  10. #7
    dajety

    Re : Démonstration de limites de suites

    mais il vient d'ou ce B ??

  11. #8
    ma92

    Re : Démonstration de limites de suites

    ok alors :
    -si u diverge vers +oo on a:

    pour tout A de R, Il existe n(A) de N tel que pour tout n>n(A) , un>A


    -si v diverge vers +oo on a :

    pour tout B de R, Il existe n(B) de N tel que pour tout n>n(B), vn>B


    Nous on veut montrer que (u+v diverge):

    pour tout C de R, Il existe n(C) de N tel que pour tout n>n(C), (un+vn)>C

    Donc on pose au debut: Soit C un élément de R, montrons qu'il existe n(C) de N tel que pour tout n>n(C), (un+vn)>C

    voila et c à partir de la que je bloque.

  12. #9
    dajety

    Re : Démonstration de limites de suites

    On fixe C appartenant à R
    Il faut trouver le n(C) en question.
    Pour le C fixé , il existe n1 pour la suite u tel que pour tout n > n1 un>C
    ok jusque la ?
    Ensuite, pour le même C il existe n2 pour la suite v tel que pour tout n>n2, vn>n2
    En gros à partir d'un certain rang la suite u va etre plus grande que C et a partir d'un autre rang ce sera la suite v qui sera plus grande que C
    Si tu prend un n sufisamment grand ( par exemple plus grand que n1 et n2 ) alors à la fois un et à la fois vn vont être plus grand que c
    ok?
    Donc avec les symboles si n>sup( n1 ; n2 ) un>C et vn> C donc un+vn> 2C>C
    En posant N = sup ( n1, n2 ) on obtient
    Pour C fixé, il existe N tel que pour tout n>N, un+vn>N et donc un+vn diverge vers + infini

  13. #10
    anouar437

    Re : Démonstration de limites de suites

    je crois c juste dajety
    (Un)n dv donc quelque soi A>0 il existe N1 tel que quelque soi n> N1 on a |Un| > A
    en particulié pr A/2 sa march aussi parsk c quelque soi A
    de meme pr (Vn)n dv donc quelque soi B>0 il existe N2 tel que quelque soi n> N2 on a Vn > B
    en particulié pr A/2
    conclusion pr N=sup{N1,N2} on aurra Un+Vn> A/2 +A/2=A
    dv aussi
    dans tt ça on a suposé que les deux suites sont positive
    et pr l'autre (u * v )n je l'a laisse a vous

  14. #11
    ma92

    Re : Démonstration de limites de suites

    d'accord c'est un peu plus clair mais qd tu ecrit sup(n1,n2) tu entend par la le maximum ?
    je n'ai pas trop compri les 2 dernieres lignes de ta réponse darjety.

  15. #12
    anouar437

    Re : Démonstration de limites de suites

    ici il faut précisé que les deux suite sont positive lorsqu'on dit que Un > A ici (Un)n est positive( c'est à dire quelque soi n Un >=0 ) si non on doit mettre |Un| > A

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  17. #13
    dajety

    Re : Démonstration de limites de suites

    oui pour moi sup et max signifie la même chose ici ( ce n'est pas tout le temps le cas )
    Pour les dernières lignes qu'est ce que tu ne comprend pas exactement ?

  18. #14
    dajety

    Re : Démonstration de limites de suites

    comme un diverge vers + infini, je suppose que on parle d'une suite réelle et forcément elle est positive à partitr d'un certain rang

  19. #15
    dajety

    Re : Démonstration de limites de suites

    ( on parle bien de suites réelles d'aprés l'énoncé )

  20. #16
    ma92

    Re : Démonstration de limites de suites

    tu as ecrit:

    Pour C fixé, il existe N tel que pour tout n>N, un+vn>N et donc un+vn diverge vers + infini

    ne serait-ce pas plutot un+vn>C ??

  21. #17
    dajety

    Re : Démonstration de limites de suites

    oui pardon je corrige

  22. #18
    anouar437

    Re : Démonstration de limites de suites

    oui vous avez raison
    et pour l'autre (Un.Vn)n comment faire ??

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  24. #19
    dajety

    Re : Démonstration de limites de suites

    C'est un peu le même raisonnement....
    On fixe C>0
    on suppose que les deux suites sont positives ( c'est donc vrai à partir d'un certain rang )
    Il existe n1 tel que pour tout n>n1, un>1
    Il existe n2 tel que pour tout n>n2, vn>C
    Alors un.vn>1.C>C et c'est gagné !

  25. #20
    ma92

    Re : Démonstration de limites de suites

    merci beaucoup pour ton aide. Mais il ya toujours qq chose que je comprend pas tres bien:

    pour tout réel C, il existe un rang n1 a partir duquel un>C
    il existe un rang n2 a partir duquel vn>C

    a partir de la, je ne vois pas comment pour un n>n1 ET n>n2 on va avoir (un+vn)>C

  26. #21
    dajety

    Re : Démonstration de limites de suites

    fixons C à 1000
    -au rang 125 un>1000
    -au rang 322 vn> 1000
    ainsin dés que n >322, un + vn > 1000 + 1000 > 2000
    Donc nécéssairement un + vn >1000

  27. #22
    ma92

    Re : Démonstration de limites de suites

    oui oui bien sur!! concretement je vois bien !! mais dans l'abstraction c'est plus difficile! en tout cas merci encore

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