Courbe orthoptique d'une courbe

[chacal66]

voila j'ia un gros probleme^^ je ne vois pas du tout comment faire pour cet exercice et la rentrée approche^^donc un petit coup de main serait acceuillit chaleureusement


la courbe orthoptique d'une courbe (C) est le lieu (T) des ponts du plan ou l'on peut mener deux tangentes à (C) orthogonales. on donne la courbe (C) et on demande de determiner la courbe (T)
x(t)=4t^3
y(t)=3t^4
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[God's Breath]

Quelle est l'équation de la tangente en un point de la courbe ?
A quelle condition nécessaire et suffisante, portant sur le point de coordonnées appartient-il à la tangente ?
Combien de droites passent-elles par le point ?
A quelle condition nécessaire et suffisante, portant sur , deux droites et sont-elles perpendiculaires et passent-elles par ?

[chacal66]

pour l'equation de la tangente je prend en un point M(1) et je trouve Y=12x-9
mais je vois pas pour A quelle condition nécessaire et suffisante, portant sur le point de coordonnées appartient-il à la tangente ?

[Thorin]

Tu ne dois pas calculer pour M(1), mais pour M(t), il faut que ce que tu fasses soit valable quelque soit t, et non pas en un point particulier

[A voir en vidéo sur Futura]

[chacal66]

ça donne Y=12t²(x-t)+3t^4 donc y=t²(12x-12t+3t²) mais euh je vois toujours pas pour la suite -_-''

[God's Breath]

Donc (je n'ai pas vérifié tes calculs) le point appartient à la tangente si, et seulement si, .
Pour un point donné, cette équation est du quatrième degré en , admet au plus 4 racines, c'est-à-dire que appartient au plus à quatre tangentes.
Reste à savoir à quelle condition deux ces quatre tangentes (qui passent par ) sont orthogonales.

[chacal66]

mais comment on trouve ce point P ? c'est nous qui le definissons?

[God's Breath]

On prend un point quelconque, et on essaie de déterminer à quel condition il appartient à la courbe orthoptique.

Il me semble que ton équation de tangente est fausse.

[chacal66]

deja si j'arrive pas à trouver l'equation d'une tangente je vais pas aller loin^^
euh y=f'(xo)(x-x0)+f(x0)?
donc pour M(t) y=12t²(x-t)+3t^4
non?

[God's Breath]

Sauf que la courbe n'est pas définie par une équation , mais par une représentation paramétrique...

[chacal66]

oula euh faut chercher le vecteur directeur de la tangente ?(on vient juste de comencer ça donc je maitrise pas très bien...)
ça donne comme vecteur directeur
x'(t)=12t²
y'(t)=12t^3

[God's Breath]

Oui, il faut commencer par déterminer le vecteur directeur (ton calcul est exact), et dire que le point est sur la tangente en si, et seulement si, ce vecteur directeur et sont liés.

[chacal66]

ouai la chui d'accord il faut que ces deux vecteurs soient colineaires donc
x'(t)=k*x(t)*x(p)
y'(t)=k*y(t)*y(p)
puis D(t) et D(t') ont perpendiculaire si x'(t)*x'(t')+y'(t)y'(t')=0
mais la ça donne k²16xp²t^3t'^3+k²9yp²t^4t'^4=0

[God's Breath]

ouai la chui d'accord il faut que ces deux vecteurs soient colineaires donc
x'(t)=k*x(t)*x(p)
y'(t)=k*y(t)*y(p)
puis D(t) et D(t') ont perpendiculaire si x'(t)*x'(t')+y'(t)y'(t')=0
mais la ça donne k²16xp²t^3t'^3+k²9yp²t^4t'^4=0

Il faut exprimer la colinéarité des vecteurs en écrivant que le déterminant de leurs coordonnées est nul...

D'autre part, je ne comprends pas comment tu obtiens la dernière équation.

[chacal66]

euh la derniere equation je l'obtient en remplaçant dans x'(t)*x'(t')+y'(t)y'(t')=0
pour le determinant ça donne x'(t)*(yp-y)-y'(t)(xp-x)=0 ?

[God's Breath]

euh la derniere equation je l'obtient en remplaçant dans x'(t)*x'(t')+y'(t)y'(t')=0

D'accord. Tu obtiens, en simplifiant une condition pour que les tangentes en et en soient perpendiculaires.

pour le determinant ça donne x'(t)*(yp-y)-y'(t)(xp-x)=0 ?

Oui.

[chacal66]

ok jusqu'à la...maintenant on doit trouver les coordonnées de xp et yp ?
dans ce cas la je prends k²16xp²t^3t'^3+k²9yp²t^4t'^4=0 et x'(t)*(yp-y)-y'(t)(xp-x)=0 j'ai donc 2 équations a 2 inconnues et je trouve si je ne me suis pas trompé
xp=t^3/2
yp=(t^3*2)/(3racine(t*t'))
mais je pense que c'ets pas ça parce que le t' dans la solution c'est moyen..

[God's Breath]

Tu encombres tes calculs avec ton qui exprime la colinéarité des vecteurs.

Je reprends autrement.

La tangente en à la courbe est dirigée par le vecteur de coordonnées , mais lorsque ce vecteur est non nul, c'est-à-dire lorsque . On peut donc remplacer ce vecteur directeur par le vecteur de coordonnées qui lui est colinéaire.

Les tangentes en et en sont orthogonales, si et seulement si, , soit .

Pour un point de lacourbe , on peut mener deux tangentes à la courbe , en des points et , orthogonales, donc avec .

Par suite est l'intersection des tangentes en et . Il te faut donc calculer l'équation de ces tangentes, puis leur point d'intersection, et tenir compte de ce que .

Tu obtiendras ainsi les coordonnées de en fonction de , c'est-à-dire une représentation paramétrique de la courbe

[chacal66]

donc j'ai fait un truc je sais pas si c'est la bonne méthode donc j'ia dit que comme P est le point d'intersection on peut dire que le vecteur directeur de M(t) et le vecteur M(t)P sont liés et le vecteur directeur de M(t') et le vecteur M(t')P sont liés donc la j'ia appliqué x'(t)*(yp-y)-y'(t)(xp-x)=0 et x'(t')*(yp-y(t'))-y'(t')(xp-x(t'))=0
mais j'obtiens comme solution xp=(t^8+1)/(t²-1)t^3 et
yp=t^4+(t^8+1)/(t²-1)

[chacal66]

euh j'ia dit une connerie?^^