Un résultat de géométrie du plan dont je ne comprend pas l'origine

[invite0edcb4b2]

Bonjour à tous,
je viens de lire sur internet un résultat qui me semble completement 'magique', je ne vois pas du tout d'où il vient:

"Soient trois droites du plan d1, d2 et d3 d'équations cartésiennes respectives a1*x+b1*y+c1=0; a2*x+b2*y+c2=0 et a3*x+b3*y+c3=0;
Alors on a: d1,d2,d3 concourrantes ou parrallèles si et seulement si
|a1 b1 c1|
|a2 b2 c2| = 0 "
|a3 b3 c3|
(je sais pas me servir de Latex, il s'agit d'un produit mixte).

J'ai evidemment essayé sur plusieurs exemples, et la propriété se vérifie effectivement.
Quelqu'un peut-il m'aider à comprendre?

Merci d'avance.
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[invitead1578fb]

Salut,

dans le plan un système de deux droites concourantes te donnent les coordonnées de leur intersection (je ne traite pas le cas de parallelisme c'est évident...), la troisième équation de droite est vérifiée par le point H , elle est donc combinaison linéaire des deux autres, et donc le determinant contenant ces trois vecteurs est nul, réciproquement si le det est nul, tu isoles un systeme libre de ton det soit il s agit d un vecteur et donc les deux autres sont prop a lui (les 3 droites sont paralleles) soit il y en a deux et tu n'as plus qu'a fixer deux contraintes et par linéarité des équations ( vu que l'une est proportionnelle aux 2 autres) elles ont une intersection commune.

Peut etre j ai pas été tres clair, je pourrai détailler si tu veux, sinon tu peux aussi jeter un oeil au calcul vectoriel, systeme de Cramer, espaces vectoriels et determinant.

Bonne soiree
bla²

[invite0edcb4b2]

Merci de m'avoir répondu.
Oui si possible j'aimerais bien quelqu'un me détaille le raisonnement car je ne saisis pas toutes les étapes: pour moi un produit mixte ça sert uniquement à vérifier que trois vecteurs sont coplanaires (je suis en MPSI).
Comment est ce qu'on peut obtenir les coordonnées du point d'intersection à l'aide d'un produit mixte? Pourquoi est-ce que si les 3 droites sont courantes, tu dis que leur équations sont linéairement liées?
Je ne dois pas tout saisir je crois...

[invitead1578fb]

Salut,

pour moi un produit mixte ça sert uniquement à vérifier que trois vecteurs sont coplanaires (je suis en MPSI).
Comment est ce qu'on peut obtenir les coordonnées du point d'intersection à l'aide d'un produit mixte? Pourquoi est-ce que si les 3 droites sont courantes, tu dis que leur équations sont linéairement liées?

Tu peux voir le produit mixte comme le det du système d'équation

tu as donc un système de 3 équations à 2 inconnues, ce système:
- n'admet pas de solution si le det est non nul
-admet une infinité de solutions si les vecteurs sont tous colinéaires (det nul, vecteurs proportionnels)
-admet une unique solution si l'un des vecteurs est combinaison linéaire des 2 autres (det nul aussi)

j'espère que ça répond mieux à ta question
bonne journée

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

On peut aussi homogénéiser le système d'équations sous la forme :


Il admet la solution triviale .

Les droites sont concourantes au point de coordonnées si, et seulement si, est solution du système.

Les droites sont parallèles si, et seulement si, elles ont un vecteur directeur commun, de coordonnées , si et seulement si, est solution du système.

Les droites sont concourantes ou parallèles si, et seulement si, le système admet une solution non triviale, si, et seulement si, son déterminant est nul.

[invite0edcb4b2]

Merci beaucoup blable, je comprend mieux. Bonne journée!