Bonsoir,
J'aurai aimé connaître les différentes interprétations d'un déterminant 3x3 = 0 ?
Plus précisément, que peut-on conclure sur un déterminant nul lorsque les triplets considérés sont des coordonnées de points de l'espace ou bien des vecteurs directeurs de droites, de plans, normaux aux plans,...
Merci.
Le determinant est nul ssi un des vecteurs est combinaison lineaire des deux autres. Deux vecteurs non colineaires definissant un plan, une interpreatation geometrique de det=0 c'est que le troisieme vecteur est dans le meme plan.
Bonjour,
Merci.
Si j'ai bien compris, si on a des triplets de points alors ils sont alignés et si ce sont par exemple des vecteurs directeurs de droites alors elles sont parallèles, c'est bien ça ?
Non prends par exemple e1=(1;0;0) e2=(0;1;0)et e3=(1;1;0). On a tout de suite que e3 = e1 + e2 (donc l'un est bien combinaison linéaire des autres) et cependant les points ne sont pas alignés. Par contre e1, e2, e3 et O (origine) sont coplanaires.Envoyé par damboy
Cependant, si on les considère comme des vecteurs, mis 2 par 2, ils définissent à chaque fois le même plan.
Dernière modification par NicoEnac ; 06/11/2008 à 10h12.
"Quand les gens sont de mon avis, il me semble que je dois avoir tort."O.Wilde
Ok merci !
Mais alors outre l'interprétation géométrique, on a :
en système linéaire : le fait que (toujours pour une matrice 3x3) un système de trois équations à trois inconnues soit résolvable (cf Leibniz)
pour les matrices : le fait que la matrice ne soit pas inversible.... pourquoi ??
De même je ne vois pas pourquoi si 0 est valeur propre d'une matrice (id est que le noyau est non vide), la matrice n'est pas inversible...
Merci d'avance
Salut,
Je dirais plutôt que le système a une solution unique (Cramer)...
(un tel système ayant un déterminant nul peut avoir une droite ou même un plan comme solution).
Simatrice
On utilise une propriété du déterminant pour montrer qu'alors :
soit :
Qui est vérifiée ssi le déterminant de M est non nul.
Le déterminant étant égal au produit des valeurs propres de la matrice, il est clair que si 0 est val.p. d'une matrice, le déterminant de celle-ci est nul, et elle n'est donc pas inversible.
Pour le det : si det d'une matrice nxn est nul, alors elle a une ligne qui s'ecrit comme combinaison lineaire des autres. Donc la dimension de l'image est strictement inferieur a n (dit autrement : le rang est strictement inferieur a n) donc le noyau n'est pas trivial.
Ce qui nous ramene a ta 2e question :
- reponse simple : dire qu'une matrice est inversible, c'est equivalent a dire que l'endomorphisme associé est inversible, cad bijectif. or, si le noyau n'est pas trivial, l'endomorphisme associé n'est pas injectif, donc pas bijectif.
- de maniere plus intuitive, si le noyau n'est pas trivial, ca veut dire qu'il ya plein de vecteurs differents qui sont tous envoyés sur 0. Donc tu "perds de l'information". Tu ne peux pas, a partr de 0, revenir en arriere et retrouver ces vecteurs. C'est comme multiplier un reel a par 0, tu obtiens toujours 0, donc tu as "oublié" quel etait le reel a, tu n'as pas une operation qui te permet de le retrouver.
Une autre interprétation géométrique:
En 2D: le déterminant et la surface engendrée par les 2 vecteurs v1 et v2 sont égaux au signe près ( surface engendrée = ensemble des points x.v1 + y.v2 avec x et y réels de [0,1]). Pour le démontrer, faire une figure, encadrer le losange de la surface par un grand rectangle et enlever les parties en trop.
En 3D: le déterminant est égal au volume engendrée par les 2 vecteurs v1,v2 et v3 (on démontre assez facilement que ce volume est v1 "ps" (v2 "pv" v3) où "ps" désigne le produit scalaire et "pv" le produit vectoriel).
Si deux vecteurs sont colinéaires, il suit que la surface ou le volume engendré(e) est nul(le), donc le déterminant qui a la même valeur absolue.
J'ai écrit une petite babiole sur le sujet ici.
If your method does not solve the problem, change the problem.
Plus généralement, le déterminant est une forme miltilinéaire alternée donc si le determinant est nul ça veut dire qu'il y a une dépendance linéaire entre au moin deux vecteurs.
