Questions sur (Z/nZ)*

[invite00970985]

Bonjour,

En travaillant un peu sur cet ensemble, j'ai des résultats qui me surprennent ... pouvez vous me dire si je me trompe?

On pose :

On me demande de montrer que (G,.) est un groupe, pas dur.

Ensuite, on me demande trouver tous les générateurs de (G,+). Là un peu plus dur, réflexion intense, arrachage de cheuveux, pour à la fin chercher ce que voulait dire précisement "générateur" ... et là c'est tout de suite plus facile :
est clairement générateur du groupe G. En effet .
De plus pour tout élément de G, , donc et donc tous les éléments de G sont générateur.

C'est cette dernière conclusion qui m'interpelle ...

De plus, on cherche les générateur de (G,+) qui n'est pas un groupe (0 n'est pas dedans!), est ce que cela a-t-il bien un sens?

Sébastien
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[invitec317278e]

Je ne vois pas trop d'où sort ce (G,+)...
Personnellement, j'aurais plutôt étudié les éléments générateurs de (G,.), qui sont, je crois, les classes d'entiers premiers avec n.

[invite57a1e779]

Je pense que l'on te demande de montrer que les générateurs de sont les éléments de .

[invite00970985]

... autrement dit, tous les éléments de G, vu qu'il ne contient que les classes d'entiers premiers avec n.

Mais j'ai l'impression que j'ai mal noté et et qu'en fait on me demande les générateurs de (Z/nZ,+) vu qu'après on parle de la fonction phi d'Euler ... j'ai du mal recopier l'énoncé ...

Merci de ta réponse

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

Je ne vois pas trop d'où sort ce (G,+)...
Personnellement, j'aurais plutôt étudié les éléments générateurs de (G,.), qui sont, je crois, les classes d'entiers premiers avec n.

La structure de est bien connue, le problème n'est pas très compliqué, mais assez technique, et surtout, ce groupe n'étant pas cyclique pour tout entier , il faudrait parler de «famille de générateurs».

[invite00970985]

oui !! Merci respiration divine, tout s'éclaire maintenant!

[invite57a1e779]

Pour le fun, un grand classique, le groupe des inversibles de est .

Mais , donc n'admet aucun générateur.

[invite00970985]

La structure de est bien connue, le problème n'est pas très compliqué, mais assez technique, et surtout, ce groupe n'étant pas cyclique pour tout entier , il faudrait parler de «famille de générateurs».

Comment ca le groupe n'est pas cyclique pour tous les entiers n? Un truc m'échappe là, tu peux m'éclairer stp?

[invite57a1e779]

Comment ca le groupe n'est pas cyclique pour tous les entiers n? Un truc m'échappe là, tu peux m'éclairer stp?

Voir mon message #7, pour , le groupe est le Vierergruppe de Klein, d'ordre 4, isomorphe à , et n'est pas cyclique, les éléments autres que le neutre sont tous d'ordre 2.