Folium de Descartes

[inviteb5b38c31]

Bonjour à tous,

Après quelques recherches sur le net, je n'arrive pas à résoudre mon exercice qui pourtant ne doit pas être si compliqué que çà, mais ça ne tilte pas ..

Voici l'énoncé :
Soit la courbe d'équation cartésienne x³ + y ³ - 3 axy = 0 avec
On coupe cette courbe par la droite d'équation

1) Montrer qu'elle rencontre (C_a) en un seul point distinct de O.

Il y a une 2e question, mais j'essaierai de me débrouiller pour celle-là.

J'avais pensé à remplacer y par tx dans l'équation mais ça ne mène pas bien loin, pas là ou il faut en tout cas.

Merci d'avance.
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[Calvert]

Salut!

Ton idée est bonne : remplace y par (tx) dans ton équation cartésienne. Il en sortira un polynôme du troisième degré avec une racine double en 0, et une troisième racine non nulle, qui est celle qui t'intéresse.

[inviteb5b38c31]

Bonjour,

Merci pour ta réponse.

Si je comprends bien, cette fameuse droite va couper la courbe en un seul point ?

Ceci étant dit, si je factorise par x² j'obtiens :
0 est solution c'est évident, mais que faire du

Vu qu'a priori, la droite coupe la courbe en un seul point, ce point aura pour coordonnées (0, ..). La seconde coordonnée étant la solution de cette équation ?

Merci.

[inviteb5b38c31]

Re,

Désolé pour ce double post, mais l'idée m'est venue trop tard.

J'ai fait tout bêtement et j'obtiens ^{x = 3at / (1+t^3)}
Ceci signifie-t-il que la droite coupe la courbe en un point distinct de O ?

Merci


PS : Est-il possible d'inclure des fractions, je ne trouve pas le bouton pour.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Calvert]

Oui, c'est correct. Tu as obtenu la coordonnée x_P de ton point. Maintenant, tu sais que ce point ce situe sur la droite y = xt. Il est donc très aisé de trouver y_P. Ensuite, il est évidemment possible de vérifier que ton point (x_P, y_P) est bien sur la courbe en insérant (x_P, y_P) dans ton équation cartésienne et en vérifiant qu'elle est correcte.

[invite7c37b5cb]

Bonjour

Moi j'obtiens: x²(x+t^3*x-3at)=0; x=3at/(1+t^3)

[inviteb5b38c31]

Bonjour krikor,

Oui c'est bon, j'ai oublié de mettre le cube sur le forum.

Merci Calvert.