Bonjour, je suis sur un exercice à propos des equa diff...
Et je tombe sur cet énoncé: quelles sont les fonctions continues de R dans C tel que pour tout f,s f(s+t)=f(s)f(t)...
A priori le résultat devrait être toute les fonctions de types xax
mais alors pour le démontrer...
Considère une primitive F de f, et essaie de trouver une relation entre F(s+t) et F(t).
salut
je ne suis pas très doué en equa diff mais je propose:
pour tout a:
g(x) = f(x+a) = f(x).f(a)
g '(x) = f '(x+a) = f '(x).f(a)
donc pour tout a:
f '(x+a)/f(x+a) = f '(x) /f(x) => pour tout x : f '(x) = k.f(x)
ensuite on résoud f '(x) = k.f(x)
f '(x)/f(x) = k
on intègre:
ln ( f(x) ) = k.x + C
f (x) = exp( k.x).exp(C) <=> f (x) = a^(x+b)
et comme f(x + y) = f(x).f(y) alors b = 0 => f(x) = a^x
Mmmmmm...je vois l'idée c'est pas mal...mais je ne comprends pas comment tu pose ça:f (x) = exp( k.x).exp(C) <=> f (x) = a^(x+b)
le passage "==> pour tout x, f '(x)=k.f(x)" me parait être en honteuse posture de manque de justification.
je me permets de rectifier: le manque de justification est sur le fait que l'on ait le droit d'écrire
pour tout a, f '(x+a)/f(x+a) = f '(x) /f(x) sans justifier que f non nulle
mais une fois que l'on a ça, on a : pour tout x, f'(x)/f(x) = f'(0)/f(0) = k sans problème
Si f s'annule, f est la fonction nulle.Envoyé par acx01b
En effet, si il existe a tel que f(a)=0, alors pour tout x, f(x+a)=f(x)*f(a)=0
Bonjour,
Pour pouvoir commencer ce raisonnement, il faudrait savoir que f est dérivable...
