Calcul de limite

[invite8b269cdb]

Bonjour

J'aimerais connaître le calcul analytique de cette limite :

[1-1/(2^n)]^(2^n) quand n-->+inf

1ere question
Je serais tenté de répondre 1 mais en utilisant MATLAB je me rend compte que pour n compris entre 15 et 53 le résultat est le même : 0.3679 ; qui correspond étrangement à la valeur de 1/e ; est-ce une simple coïncidence ou sinon à quoi cela est-il dû?
Pour n=54 le résultat devient brusquement 1 et de ce fait je pense que ça pourrait être dû à une erreur d'arrondi...

2e question
La limite est-elle exactement équivalente à (1-1/x)^x ?
Pour x=10^4 la valeur est aussi 0.3679 ; idem pour x=10^10...
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[martini_bird]

Salut,

le logarithme de ta fonction a pour limite -1 quand n croît vers l'infini, d'où le résultat.

Pour ta seconde question, la réponse est oui, compte tenu du changement de variable .

Cordialement.

[Thorin]

Je réponds à la deuxième question : oui, par composition des limites.

Maintenant, je m'en sers pour répondre à la première :

tend vers -1

D'où le résultat.

[invite8b269cdb]

Ok merci beaucoup.

Euh juste par curiosité, désolé d'être mauvais, pourquoi x.ln(1-1/x) tend vers -1?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Thorin]

parce que ln(1+x)/x tend vers 1 en 0.
ensuite, composition.

[invite8b269cdb]

C'est finement vu...
Merci.

[krikor]

Bonsoir

lim lny=lim[ln(2n-1)/(2n)]/(1/2n)=

regle de L'Hospitale

=lim[ln(2n-1)/(2n)]'/(1/2n)'=

=lim[2/(2-1/n)]=1

y-->e