Calcul de somme de séries

[invitec7f96499]

bonjour a tous, je bloque sur le calcul de la somme de la série de terme général Un=tan(n"pi"/3 )/2^n
un aiguillage serait bienvenu
merci d avance!
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[invitea3eb043e]

Ecris les 6 premiers termes et tu verras des choses intéressantes.

[invitec7f96499]

ok daccord donc je distingue juste les cas n congru a 0 modulo3, 1 modulo 3 et 2 modulo 3.
merci

[invitec7f96499]

j ai un petit probleme car au final j ai trouvé 0 mais il parait que c est
(2racine de 3) /7... j ai additioné les sommes qu on trouve pour les 3 cas mais apparement c est faux...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

Tu as, la tangente étant -périodique, , terme général d'une suite géométrique.

Donc .

[invitea3eb043e]

j ai un petit probleme car au final j ai trouvé 0 mais il parait que c est
(2racine de 3) /7... j ai additioné les sommes qu on trouve pour les 3 cas mais apparement c est faux...

Tu as apparemment oublié les 2^n au dénominateur

[invitec7f96499]

merci beaucoup c est plus clair

[invitec7f96499]

nan je les avais inclus et je trouvais ds le cas n congru a mod 3 :
S=0
dans le cas congru a 1 mod 3 :
S=2 racine de 3
dans le cas congu a 2... :
S=-2 racine de 3
--> donc en additionant 0, et je vois pas trop ou je me suis planté....

[invite57a1e779]

Pour les congrus a 1 modulo 3, la somme est

Pour les congrus a 2 modulo 3, la somme est

Tu fais une erreur sur la raison de tes séries géométriques : ...

[invitec7f96499]

effectivement c etait ca... gracias senor

[invitec7f96499]

une derniere chose sur cette exo que je n ai pas trop assimilée, pour se donner le droit de calculer la somme, il faut d abord étudier la convergence absolue ou ce n est pas nécessaire??

[invite57a1e779]

Par la méthode de mon message #5 : tu montres que la série converge (absolument ou pas, c'est indifférent), puis tu dis que la somme est la limite de la suite des sommes partielles, et tu calcules la somme comme limite d'une sous-suite de que tu extrais habilement, de façon à pouvoir la calculer en regroupant les termes 3 par 3, et profiter ainsi de la régularité que tu as remarquée sur le terme général .

[invitec317278e]

Une fois ceci écrit, la convergence me semble évidente, non ?

[invite57a1e779]

Une fois ceci écrit, la convergence me semble évidente, non ?

Pas nécessairement, c'est plus fin que cela.

Si je considères la série de terme général (où est la classique racine cubique complexe de l'unité...), cette série diverge, et le fait d'écrire n'y changera rien, même si ça me donne l'impression que la série a pour somme 0...

[invitec317278e]

Oui, j'y avais pas pensé...mieux vaut extraire les sommes des termes selon la congruence modulo 3 de leur indice.

Merci.