Suites

[invite0421a5d8]

Bonjour!!
Mon prof a oublié de nous faire faire une démonstration en cours , et je n'arrive pas à la faire seule... Je pense qu'il faut faire un raisonnement par l'absurde mais je n'en suis pas sûre... Voilà le sujet:
Soit Un une suite numérique
Mq Un convergente équivaut à U2n et U2n+1 convergentes vers le même réel
si quelqu'un pouvait me donner une idée pour la démo, ce serait sympa!!
Merci!!
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[invitea3eb043e]

Si Un converge quand n tend vers l'infini, il en va de même de U2n, U(5n+27), tout ce que tu veux.

[invitec317278e]

Ca, c'est la partie triviale, la partie légèrement plus délicate, c'est l'autre sens.

Et pour démontrer l'autre sens, l'important, c'est de bien voir que tout terme de la suite est soit de la forme , soit de la forme

[inviteb2a95209]

a_2k converge vers l
donc qu'il que soit e£R , il existe N1£N , qu'il que soit k>=N1
|a_2k- l |<e (1)

si a_2k+1 converge vers l
donc qu'il que soit e£R , il existe N2£N , qu'il que soit k>=N |a_2k- l |<e (2)

posons N=max(2N1 , 2(N2) + 1)

et montrons que qu'il que soit n>=N |an - l|<e
pour conclure que an converge vers l


1 ére cas : n est pair


dans ce cas il existe k£N tel que n=2k
an = a2k
d'aprés (1) an converge vers l

2éme cas : n est impaire

dans ce cas il existe k£N tel que n=2k+1
donc d'aprés (2)
an converge dans l


conclusion : si a_2n et a_2n+1 converge vers méme limite l
donc a_n aussi converge vers l

ok bonne chance

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0421a5d8]

Merci beaucoup de votre aide!! j'ai réussi à faire la démo!! Bonne semaine à tous!!

[inviteb2a95209]

de rien LoLa 33