Bonsoir à tous,
En général je ne suis pas mauvais pour résoudre des intégrales mais là je sèche.
Je cherche à resoudre l'intégrale x²(racine(1-x²))dx
Je commence par une IPP en mettant u'=x² et v=racine de 1-x²
J'obtient = (x^/3)*(racine(1-x²))+int(p^4/(3 racine(1-x²)))dx
après je sèche, je ne vois pas quoi faire en en faisant une seconde IPP j'ai l'impression de tourner en rond
Si quelqu'un pouvait m'aider
Merci
à mon avis je tenterai plutot par un changement de variable en posant u = sin t par exemple et puis ensuite viens ton IPP
Tu dois changer de variable mais pour sa il faudrait un domaine de definition arrangeant
Dans tous les cas je te donne le solution brut mais attention au domaine
Tu poses x=sin(t) => t=arcsin(x)
dx=cos(t)
Int(x² sqrt(1-x²) dx) = Int(sin²(t)cos²(t)dt)
=Int(cos(2t)dt/2)
=sin(2t)/4 +k
=sin(2arcisn(x))/4 +k
=x/2 + k
A vérifier
Si Int(x² sqrt(1-x²) dx) = x/2 + k, alors, en dérivant x² sqrt(1-x²) = 1/2 !!!
Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.
Bon soir
x=cost
intx^3sqrt(1-x²)dx=-intcos^3td(cost)
tu ne peut pas intégrer par parties tu doit changer du variable en posant x=cost ou x=sint ou x= -cosht
Le changement de variable est effectivement x=sint, d'où dx=cost dt
On est alors amené à chercher la primitive de sin²t*cos²t
En se souvenant que sin(2t)=2sintcost, cela revient à chercher la primitive de sin²(2t)
Encore une petite formule de trigo, qui dit que cos(2u)=1-2sin²(u), donc
sin²(2t)=(1-cos(4t))/2
On trouve que la primitive cherchée vaut
1/8 (arcsin(x)+x racine*(1-x²)*(2x²-1))
