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Philosophie des mathématiques



  1. #1
    lamorgana

    Philosophie des mathématiques


    ------

    Bonjour,
    je ne sais pas trop si ma question trouve sa place ici, mais je ne savais pas où la mettre dans les différents forums!

    Chers matheux, auriez vous des références bibliographiques ou sites internet sur la philosophie des mathématiques?
    en vous remerciant d'avance

    -----

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  3. #2
    DomiM

    Re : philosophie des mathématiques

    Bonjour,

    Il y a wikipédia et, de là,tu trouveras d'autres liens

    WikipediaPhiloMath

    Pour moi le sujet c'est les Axiomes comme fondement
    Mesurer la masse de la situation permettrait de connaitre sa gravité :)

  4. #3
    lamorgana

    Re : philosophie des mathématiques

    Bonjour,
    j'ai regardé le lien que tu m'as fournit...c'est passionnant!
    Excuses moi, je n'ai pas compris:
    "Pour moi le sujet c'est les Axiomes comme fondement "

  5. #4
    DomiM

    Re : philosophie des mathématiques

    Et bien un axiome désigne une vérité indémontrable qui doit être admise.
    Pour moi il n'y a donc que ça qui soit discutable philosophiquement puisque le reste est démontrable donc indiscutable.
    Mesurer la masse de la situation permettrait de connaitre sa gravité :)

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    lamorgana

    Re : philosophie des mathématiques

    si l'on concidère que les maths sont une "création" de l'esprit humain elles sont soumises à la connaissance humaine, à partir de là, pourquoi ne pouvons nous pas discuter philosophiquement de toutes ces "vérités"?
    Si nous discutons d'un axiome, est ce une discution philosophique ou une discution mathématiques?

  8. #6
    xxxxxxxx

    Re : philosophie des mathématiques

    Citation Envoyé par DomiM Voir le message
    Et bien un axiome désigne une vérité indémontrable qui doit être admise.
    Pour moi il n'y a donc que ça qui soit discutable philosophiquement puisque le reste est démontrable donc indiscutable.
    ce serait drole que dans les probas, quand on dit une chance sur 2 on introduise quelque chose qui en fonction "d'une autre variable" qui pourrait être le temps dise : nous choissiront soit 1 soit 2 comme vérité.

    je suis persuadé qu"on arriverait à des résultats surpenants

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  10. #7
    Médiat

    Re : philosophie des mathématiques

    Citation Envoyé par lamorgana Voir le message
    si l'on concidère que les maths sont une "création" de l'esprit humain
    Voila un premier sujet philosophique sur lequel le débat n'est pas clos.

    Citation Envoyé par lamorgana Voir le message
    Si nous discutons d'un axiome, est ce une discution philosophique ou une discution mathématiques?
    Si on discute de la "vérité" porté par un axiome, alors la discussion est purement philosophique, si on discute de la cohérence de cet axiome avec d'autres, alors la discussion est purement mathématique.
    Si l'on discute de la capacité de la méthode axiomatique comme instrument de connaissance, ou de la capacité d'une théorie mathématique à décrire la "réalité", alors la discussion est purement philosophique.

    Citation Envoyé par DomiM
    Et bien un axiome désigne une vérité indémontrable qui doit être admise.
    Voila une formulation qui est avant tout une prise de position philosophique très tranché, et mathématiquement mal approprié, la "vérité" des mathématiques (et je n'aime pas ce vocabulaire, comme j'ai eu l'occasion de le dire plusieurs fois) n'ayant rien à voir avec le sens donné généralement à ce mot. Je ne vois pas, par exemple, ce que peut vouloir dire "admettre l'axiome de l'associativité".
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  11. #8
    DomiM

    Re : philosophie des mathématiques

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Voila un premier sujet philosophique sur lequel le débat n'est pas clos.
    Le fruit de la pensée serait plus juste car d'autre cerveau que le notre peuvent y accéder, il n'y a pas de panneau propriété privé.

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Si l'on discute de la capacité de la méthode axiomatique comme instrument de connaissance, ou de la capacité d'une théorie mathématique à décrire la "réalité", alors la discussion est purement philosophique.
    Je ne vois pas, par exemple, ce que peut vouloir dire "admettre l'axiome de l'associativité".
    Oui c'est philosophique dans le sens où c'est réducteur et pour les maths ce n'est pas grave mais quand on applique cette réduction au réél c'est plus grave.
    Mesurer la masse de la situation permettrait de connaitre sa gravité :)

  12. #9
    G13

    Re : Philosophie des mathématiques

    Bonjour,

    Des références de livres:
    "Matière à pensée" de J.-P. Changeux et Alain Connes
    "Triangle de pensées" de Alain Connes (on ne comprend pas tout..., mais c'est instructif)

    Une interview:
    http://www.arte.tv/fr/connaissance-d...e/1350636.html

  13. #10
    lamorgana

    Re : Philosophie des mathématiques

    DomiM, tu dis:
    "Le fruit de la pensée serait plus juste car d'autre cerveau que le notre peuvent y accéder"...l'outils mathématique est il utilisé par d'autres "espèces"?

  14. #11
    DomiM

    Re : Philosophie des mathématiques

    Citation Envoyé par lamorgana Voir le message
    DomiM, tu dis:
    "Le fruit de la pensée serait plus juste car d'autre cerveau que le notre peuvent y accéder"...l'outils mathématique est il utilisé par d'autres "espèces"?
    Et bien, tant que l'on ne saura pas dialoguer avec d'autres espéces et notamment les cétacés nous n'en saurons rien.
    Mesurer la masse de la situation permettrait de connaitre sa gravité :)

  15. #12
    lamorgana

    Re : Philosophie des mathématiques

    "notamment les cétacés"....c'est une boutade ou tu as une idée derrière la tête?

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  17. #13
    DomiM

    Re : Philosophie des mathématiques

    Citation Envoyé par lamorgana Voir le message
    "notamment les cétacés"....c'est une boutade ou tu as une idée derrière la tête?
    ils ont un cerveau plus gros que le notre, voilà tout
    Mesurer la masse de la situation permettrait de connaitre sa gravité :)

  18. #14
    lamorgana

    Re : Philosophie des mathématiques

    G13,j'ai regardé l'interview qui est très interessante, dans celle ci M. Connes nous présente une théorie, est ce que la dernière expérience faite avec l'accelerateur de particules l'a t'elle vérifiée?

  19. #15
    G13

    Re : Philosophie des mathématiques

    Voici un extrait d'un Science&Avenir d'octobre 2005:
    "Trouver un groupe permet aussi de jeter des ponts avec d'autres groupes a priori sans rapport et, grâce à ces connexions, de découvrir de nouvelles propriétés.
    C'est ce qui est arrivé avec la renormalisation. D'abord, Dirk Kreimer a trouvé une structure mathématique dans la procédure un peu empirique des physiciens. Puis avec Connes, il a compris que cette structure était identique à une autre, découverte plus tôt par Connes et Henri Moscovici lors de calculs en géométrie non commutative.
    Enfin, tous les deux ont réalisé que le tour de main des physiciens est le même qu'une recette de mathématicien pour résoudre un problème a priori sans lien.
    Du coup, Dirk Kreimer en a déduit une nouvelle façon de cuisiner le modèle standard. Il a convaincu des physiciens de l'employer pour calculer avec encore plus de précisions (et plus de facilité) des branches du modèle qui seront testées au LHC, au Cern à Genève."

    Il paraît aussi (c'est peut-être dit dans l'interview) que le modèle physique découvert par Alain Connes donne toutes les constantes du modèle standard avec une grande précision.

    Mais sinon, je ne sais pas si la théorie physique d'Alain Connes peut être testée.

  20. #16
    o-b1

    Re : Philosophie des mathématiques

    la formulation de questions me semble un peu vague, mais je vais essayer d'y répondre de la facon dont je les perçoit.


    pour commencer, il faut remonter a la base de la logique.
    par exemple en géométrie, il est bien difficile de définir de façon formelle un point ou une droite ou la notion de parallélisme.
    par contre on peut essayer de définir des "règles" pour manipuler ces objets: ce sont les axiomes (http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89l...ts_d%27Euclide). ce sont en quelque sorte les règles du jeu de la démonstration.
    c'est encore plus parlant avec la théorie des ensembles...qu'est-ce q'un ensemble? qu'est-ce que ca signifie "appartenir à un ensemble"? zermelo et fraenkel on défini 7 axiomes permettant d'appréhender les ensembles.
    un tel groupe d'axiomes est appelé une théorie.
    toutes les théories ne sont pas "viables": pour certaines théories il peut exister une proposition P telle que "P" et "non(P)" sont vraies! dans ce cas un bref raisonnement à partir du tiers exclus et du modus ponens permet de montrer que dans cette théorie toute proposition "Q" est également vraie! une telle théorie est dite contradictoire; mais ce genre de théorie n'est pas intéressante en mathématiques.

    on n'a pas pu démontrer à lheure actuelle si la théorie axiomatique des ensembles de zermelo et fraenkel était contradictoire ou au contraire cohérente. par contre si elle ne l'est pas, on peut y ajouter l'axiome du choix pour créer une autre théorie non contradictoire.

    l'ensemble des raisonnements mathématiques seront ensuite de la forme (explicite ou non):" si notre théorie axiomatique est cohérente alors en y ajoutant ce théorème on obtient une nouvelle théorie cohérente".

    les axiomes ne sont pas des vérités absolues: on étudie à la fois la géométrie euclidienne(il existe une unique parallèle à une droite donnée passant pat un point donné) et les géométries non euclidiennes (il n'en existe pas, ou plusieurs).

    les raisonnements mathématiques sont universels, mais une civilisation extraterrestre peut ne pas choisir les mêmes axiomes ni les mêmes définitions mais il s'agirait d'autres branches des mathématiques!

    PS: concernant les définitions, elles sont comme les axiomes subjectives et fruit de l'esprit humain, mais contrairement aux axiomes il n'existe pas de mauvaise définition.
    PPS: l'algèbre et l'analyse n'utilisent pas les même objets, mais la définition d'un groupe est différente de la définition d'une topologie...
    PPPS:un groupe pourrait s'appeler "fsjkdsjfl" cela ne changerait pas les résultats de la théorie des groupes; que le terme "fsjkdsjfl" coïncide avec "groupe" dans le langage courant ne serait qu'une coïncidence!
    PPPPS: même si certaines définitions semblent contradictoires elles peuvent être étudiées: on peut appeler "xx" une fontion dérivables qui n'est pas continue. on peut trouver des résultats sur ces fonctions xx même si on sait qu'il n'en existe pas!

  21. #17
    Médiat

    Re : Philosophie des mathématiques

    Bonjour,

    Ce qui suit concerne la logique classique du premier ordre :



    Citation Envoyé par o-b1 Voir le message
    l'ensemble des raisonnements mathématiques seront ensuite de la forme (explicite ou non):" si notre théorie axiomatique est cohérente alors en y ajoutant ce théorème on obtient une nouvelle théorie cohérente".
    Pas tout à fait d'accord :
    1. Certaines théories (groupes par exemple) sont connues comme consistantes, donc le "si" n'est obligatoire.
    2. Un théorème d'une théorie (une théorie n'est pas un "groupe" d'axiomes, mais un "groupe" de formules contenant les axiomes (ce point est discutable cf. infra *) et clos par inférence) est démontrable à partir des axiomes
    3. Démontrer que "si notre théorie axiomatique est cohérente alors en y ajoutant telle formule comme axiome on obtient une nouvelle théorie cohérente" permet de démontrer que la formule en question n'est pas réfutable dans l'ancienne théorie, pas que cette formule est un théorème de cette théorie (pas de tiers-exclu en théorie de la démonstration). Un exemple simple : la commutativité n'est pas réfutable dans la théorie des groupes, et pourtant ce n'est pas un théorème de la théorie des groupes (c'est une formule indécidable).

    *) L'ensemble des formules vraies dans (IN, +, x) est une théorie (généralement notée Th(IN, +, x), pourtant il n'est pas possible de définir explicitement un groupe d'axiomes pour cette théorie (c'est le théorème d'incomplétude de Gödel)
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  22. #18
    DomiM

    Re : Philosophie des mathématiques

    Bonjour,

    Le principe du tiers exclu n'est il pas obsolète depuis que la réalité des particules nous a montré que le vide est remplie de particules virtuelles qui sont des superpositions de particules et d'antiparticules ?

    De même pour la commutativité puisque Alain Connes a réécrit les équations de Maxwell-Lorentz en géométrie non commutative pour mieux décrire la réalité du champ électromagnétique afin d'aboutir un jour à la théorie de tout mais la même formule tient alors sur un page A4 complétement remplie.

    Ce qui veut dire que certain axiomes sont aussi utilisé pour simplifier les mathématiques et donc la réalité.

    Comme je le disait plus haut celà n'est pas génant pour les maths mais ce qui est génant c'est de ne pas l'avouer.
    Mesurer la masse de la situation permettrait de connaitre sa gravité :)

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  24. #19
    Médiat

    Re : Philosophie des mathématiques

    Citation Envoyé par DomiM Voir le message
    Le principe du tiers exclu n'est il pas obsolète depuis que la réalité des particules nous a montré que le vide est remplie de particules virtuelles qui sont des superpositions de particules et d'antiparticules ?
    Depuis quand la "réalité" qui n'est en fait que l'état à un instant donné de l'interprétation que les physiciens font de leur propres modèles, doit-elle influer sur les mathématiques ?

    Citation Envoyé par DomiM Voir le message
    De même pour la commutativité puisque Alain Connes a réécrit les équations de Maxwell-Lorentz en géométrie non commutative pour mieux décrire la réalité du champ électromagnétique afin d'aboutir un jour à la théorie de tout mais la même formule tient alors sur un page A4 complétement remplie.
    Ditto.
    En plus je ne vois pas en quoi la remise en cause de la commutativité dans un coin d'une théorie, rendrait obsolète la commutativité de façon universelle.

    Citation Envoyé par DomiM Voir le message
    Ce qui veut dire que certain axiomes sont aussi utilisé pour simplifier les mathématiques et donc la réalité.
    Que les mathématiques décrivent la réalité est une position philosophique qui n'est pas universellement partagé, mais que la réalité soit soumise aux mathématiques, c'est encore moins consensuel.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  25. #20
    lamorgana

    Re : Philosophie des mathématiques

    "Il paraît aussi (c'est peut-être dit dans l'interview) que le modèle physique découvert par Alain Connes donne toutes les constantes du modèle standard avec une grande précision.

    Mais sinon, je ne sais pas si la théorie physique d'Alain Connes peut être testée.[/QUOTE]"

    oui, justement il en parle et je voulais savoir si les expériences du lhc à genève avaient donné des choses à ce sujet...

  26. #21
    DomiM

    Re : Philosophie des mathématiques

    Citation Envoyé par lamorgana Voir le message
    oui, justement il en parle et je voulais savoir si les expériences du lhc à genève avaient donné des choses à ce sujet...
    pas pour l'instant puisqu'il est en panne
    Mesurer la masse de la situation permettrait de connaitre sa gravité :)

  27. #22
    lamorgana

    Re : Philosophie des mathématiques

    Citation Envoyé par DomiM Voir le message
    pas pour l'instant puisqu'il est en panne
    ah....merci de l'info!

  28. #23
    lamorgana

    Re : Philosophie des mathématiques

    En lisant certains posts je me pose une question. y a t il deux courants dans la vision mathématiques: le premier concidérant que les maths sont issues de la pensée pour comprendre l'environnement, et le deuxième concidérant que les maths sont...l'environnement et la pensée est à la recherche de ce code mathématique?
    j'espère être claire...

  29. #24
    Fgordon

    Re : Philosophie des mathématiques

    Ben oui. il y a la vision "platonicienne", qui considère que les maths existent en dehors de l'homme, et que nous ne faisons que les "découvrir"...et une vision (étrange selon moi) que les maths sont une "création" de l'esprit humain.

    Comme si on avait pu "inventer" le nombre Pi, l'ensemble des entiers, ou la théorie de groupes.

    Ce sont souvent les physiciens (qui considèrent les maths comme un simple "outil") qui ont cette vision.

    J'ai cru comprendre que les mathématiciens sont plus souvent platoniciens.

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  31. #25
    Médiat

    Re : Philosophie des mathématiques

    Citation Envoyé par Fgordon Voir le message
    Comme si on avait pu "inventer" le nombre Pi, l'ensemble des entiers, ou la théorie de groupes.
    Je ne vois strictement rien d'étrange la-dedans, surtout, mais pas uniquement pour la théorie des groupes.
    Je ne vois pas en quoi "inventer" le nombre pi serait plus étrange que "d'inventer" la trajectoire des 16 boules d'un billard américain lors de la casse.

    Citation Envoyé par Fgordon Voir le message
    J'ai cru comprendre que les mathématiciens sont plus souvent platoniciens.
    Ben, je suis mathématicien, et même pire, logicien, et je n'ai absolument pas cette vision, bien au contraire car non seulement je pense que les mathématiques sont une création de l'esprit, mais qu'en plus elles en sont le plus fidèle révélateur, voire l'ontologie (cf. Badiou qui a théorisé cette position qui est bien plus ancienne).
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  32. #26
    Fgordon

    Re : Philosophie des mathématiques

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Ben, je suis mathématicien, et même pire, logicien, et je n'ai absolument pas cette vision
    Je n'ai pas dit "tous" les mathématiciens .

    Je me souviens avoir lu ça dans la préface d'Alain Connes au bouquin "Triangle de pensées."

  33. #27
    DomiM

    Re : Philosophie des mathématiques

    Citation Envoyé par lamorgana Voir le message
    En lisant certains posts je me pose une question. y a t il deux courants dans la vision mathématiques: le premier concidérant que les maths sont issues de la pensée pour comprendre l'environnement, et le deuxième concidérant que les maths sont...l'environnement et la pensée est à la recherche de ce code mathématique?
    j'espère être claire...
    Oui, c'est clair

    Si un jour on arrive à exprimer mathématiquement la fonction d'onde de l'univers (la théorie de tout) alors on purra dire que l'univers est mathématiques et donc que les maths était là avant l'univers, c'est parce que l'univers était possible mathématiquement que nous sommes là pour nous poser la question.
    Mesurer la masse de la situation permettrait de connaitre sa gravité :)

  34. #28
    Médiat

    Re : Philosophie des mathématiques

    Citation Envoyé par DomiM Voir le message
    Oui, c'est clair

    Si un jour on arrive à exprimer mathématiquement la fonction d'onde de l'univers (la théorie de tout) alors on purra dire que l'univers est mathématiques et donc que les maths était là avant l'univers, c'est parce que l'univers était possible mathématiquement que nous sommes là pour nous poser la question.
    Ne pourrait-on pas, plus modestement, dire que notre capacité à percevoir le monde serait alors un petit peu plus qu'aujourd'hui, compatible avec notre capacité à le modéliser (avec les outils mathématiques), ce qui permetrait de voir ces capacités comme une "simple" conséquence de l'évolution des espèces .
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  35. #29
    DomiM

    Re : Philosophie des mathématiques

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Ne pourrait-on pas, plus modestement, dire que notre capacité à percevoir le monde serait alors un petit peu plus qu'aujourd'hui,
    Serait à leur maximum car qu'y a t'il a trouver aprés la théorie de tout ?
    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    compatible avec notre capacité à le modéliser (avec les outils mathématiques), ce qui permetrait de voir ces capacités comme une "simple" conséquence de l'évolution des espèces .
    un simple aboutissement, pour la même raison.

    Avec les outils mathématiques et informatique
    Car après la théorie de tout il y a la reproduction
    Nous deviendrions le sexe de l'univers en simulant dans un ordinateur un univers légèrement modifié pour voir ce que cela donne nous finirions par en trouver un qui fonctionne mais avec d'autres lois que le notre. Alors nous le laisserions évoluer ....

    Le male c'est les math la femelle c'est l'informatique
    Mesurer la masse de la situation permettrait de connaitre sa gravité :)

  36. #30
    Médiat

    Re : Philosophie des mathématiques

    Citation Envoyé par DomiM Voir le message
    Serait à leur maximum car qu'y a t'il a trouver aprés la théorie de tout ?
    N'y a-t-il pas quelque chose derrière l'horizon ? Une théorie du tout, c'est à dire de tout ce que nous sommes capable de percevoir au travers de nos différents outils sans celui-ci, ne deviendrait-elle pas un nouvel outil capable d'élargir notre perception, et donc de ne plus être une théorie de ce nouveau tout ? Sans compter, puisque je parlais de l'évolution, que nous ne sommes pas à l'abri d'une mutation ...
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

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