Irréductibilité et extention

[invite80487107]

salut tt le monde...

1: il s'agit de montrer que P(x)= x^3 - x + 1 est irréductible sur Q
2: soit a dans C racince de P
* [Q(a):Q] = ???
* b=2-3a-2a^2 calculer b^-1 ???
1: j'utilise raisonement par l'absurde
je supose que P est réductible alors il existe R et S tel que P=R.S avec 0<deg(R),deg(S) <3
deg(P)= derg(R)+deg(S)=3
on pren deg(R)=1 et deg(S)=2
P(x)= x^3 - x + 1 =(ax+b)(a'x^2+b'x+c')=aa'x^3+( ab'+ba')x^2+(ac'+bb')x+bc'
==> aa'=1 ; (ab'+ba')=0 ; (ac'+bb')=-1 ; bc' =1
mnt il faut trouver l'absurdité pouvez vous m'aider pour continuer l'exercice ??
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[invite57a1e779]

Dans ce genre de problème, on utilise que R, de degré 1, admet une racine rationnelle, représentable sous la forme p/q, avec p et q premiers entre eux, qui est donc racine de P.
On écrit que P(p/q) = 0 et on montre que c'est impossible.

[invite80487107]

merci pr votr réponse
j'ai pris -b/a racine de R et j'ai arrivé a a^3=b(b-a)(a^2+ab+b^2)
mais svp je vois pa l'absurdité pouvez vous m'aider

[invite769a1844]

prends plutôt a/b racine de P avec a et b premiers entre eux comme t'as conseillé God's Breath.
L'hypothèse que a et b sont premiers entre eux va t'aider à aboutir à une contradiction.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite80487107]

ok
voila avec a/b racine de R parsuite de P a et p premier entr eux on aurra b^3=a(b^2-a^2) et après.. ??

[invite769a1844]

ben après par le lemme de Gauss, a divise b donc .
Essaies de trouver b maintenant que tu sais que .

[NicoEnac]

ben après par le lemme de Gauss, a divise b

Ce qui suffit à trouver la contradiction (on a supposé que a et b étaient premiers entre eux)

[invite769a1844]

non ça suffit pas, peut être une unité.

[NicoEnac]

Aïe ! Une bêtise de plus ! J'approuve ce qu'a dit rhomuald précédemment, il faut croire que son cerveau fonctionne bien plus vite que le mien. Désolé de mon erreur.