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Irréductibilité et extention



  1. #1
    joliasanaa

    Angry Irréductibilité et extention


    ------

    salut tt le monde...

    1: il s'agit de montrer que P(x)= x^3 - x + 1 est irréductible sur Q
    2: soit a dans C racince de P
    * [Q(a):Q] = ???
    * b=2-3a-2a^2 calculer b^-1 ???
    1: j'utilise raisonement par l'absurde
    je supose que P est réductible alors il existe R et S tel que P=R.S avec 0<deg(R),deg(S) <3
    deg(P)= derg(R)+deg(S)=3
    on pren deg(R)=1 et deg(S)=2
    P(x)= x^3 - x + 1 =(ax+b)(a'x^2+b'x+c')=aa'x^3+( ab'+ba')x^2+(ac'+bb')x+bc'
    ==> aa'=1 ; (ab'+ba')=0 ; (ac'+bb')=-1 ; bc' =1
    mnt il faut trouver l'absurdité pouvez vous m'aider pour continuer l'exercice ??

    -----
    jolitta

  2. #2
    God's Breath

    Re : Irréductibilité et extention

    Dans ce genre de problème, on utilise que R, de degré 1, admet une racine rationnelle, représentable sous la forme p/q, avec p et q premiers entre eux, qui est donc racine de P.
    On écrit que P(p/q) = 0 et on montre que c'est impossible.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  3. #3
    joliasanaa

    Re : Irréductibilité et extention

    merci pr votr réponse
    j'ai pris -b/a racine de R et j'ai arrivé a a^3=b(b-a)(a^2+ab+b^2)
    mais svp je vois pa l'absurdité pouvez vous m'aider
    jolitta

  4. #4
    rhomuald

    Re : Irréductibilité et extention

    prends plutôt a/b racine de P avec a et b premiers entre eux comme t'as conseillé God's Breath.
    L'hypothèse que a et b sont premiers entre eux va t'aider à aboutir à une contradiction.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    joliasanaa

    Re : Irréductibilité et extention

    ok
    voila avec a/b racine de R parsuite de P a et p premier entr eux on aurra b^3=a(b^2-a^2) et après.. ??
    jolitta

  7. #6
    rhomuald

    Re : Irréductibilité et extention

    ben après par le lemme de Gauss, a divise b donc .
    Essaies de trouver b maintenant que tu sais que .

  8. #7
    NicoEnac

    Re : Irréductibilité et extention

    Citation Envoyé par rhomuald Voir le message
    ben après par le lemme de Gauss, a divise b
    Ce qui suffit à trouver la contradiction (on a supposé que a et b étaient premiers entre eux)
    "Quand les gens sont de mon avis, il me semble que je dois avoir tort."O.Wilde

  9. #8
    rhomuald

    Re : Irréductibilité et extention

    non ça suffit pas, peut être une unité.

  10. #9
    NicoEnac

    Re : Irréductibilité et extention

    Aïe ! Une bêtise de plus ! J'approuve ce qu'a dit rhomuald précédemment, il faut croire que son cerveau fonctionne bien plus vite que le mien. Désolé de mon erreur.
    "Quand les gens sont de mon avis, il me semble que je dois avoir tort."O.Wilde

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