Irréductibilité d'un polynôme à plusieurs variables.

[invitebb921944]

Bonjour,
Je travaille en ce moment sur la théorie des anneaux et je veux montrer que est intègre.
Comme est factoriel, il suffit de montrer que est irréductible.

Or on me dit :

" est irréductible dans ssi est irréductible dans d'après le théorème de Gauss."

Je ne vois pas bien en quoi cette équivalence se déduit du théorème de Gauss.

Sinon j'ai bien compris le raisonnement.

J'avais fait un raisonnement un peu plus long et j'aimerais savoir s'il est juste.


Raisonnons par l'absurde et supposons qu'il existe tels que .
Par intégrité de , on a deux cas possibles, soit et , soit .

Dans le premier cas, on a donc .
Dans , l'égalité entraine , donc est inversible dans , c'est donc un élément du corps . C'est absurde.

Dans le second cas, les égalités entrainent comme précedemment que et sont des éléments de non nuls. Notons le quotient .
Par identification, on obtient .
Comme , on a que .
D'où , ce qui est absurde.

Voilà c'est un peu long mais j'aimerais juste savoir si le raisonnement est bon.
-----

[invite57a1e779]

Bonjour,

C'est l'utilisation, dans le cas où du classique théorème : Soit un anneau intègre, son corps de fraction, alors un élément de est irréductible dans si, et seulement si, il est irréductible dans , dont la démonstration est basée sur le théorème de Gauss sur le produit de polynômes primitifs dans .

[invitebb921944]

Merci pour cette réponse mais quelque chose me chiffonne.
Dois-je comprendre qu'un polynôme de où est intègre (mais n'est pas nécessairement un corps) peut être réductible sur sans avoir de racines dans ?

[invitebb921944]

Pour préciser, on me dit :
Si est réductible dans , il l'est dans et dans ce cas, il admet une racine dans le corps ...
Je ne vois pas pourquoi ils n'ont pas dit directement que si est réductible dans , alors il admet une racine dans (car la suite de l'argumentation fonctionne tout à fait dans ce cas). J'imagine donc que mon assertion est fausse mais je ne vois pas pourquoi....

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited749d0b6]

Bonsoir,

Si A est factoriel, un polynôme unitaire est irréductible ssi il est irréductible dans K[X].
En effet, A[X] est factoriel.
Soit P irreductible dans A[X]. Si P=U(X)V(X), avec U,V appartenant à K[X], il existe c,d appartenant à A, tel que cU et dV appartiennent à A[X].
Donc cdP=(cU)(dV) or A[X] factoriel donc P divise cU ou dV car P irreductible dans A[X]. or deg(cU)<P. De même pour dV. Contradiction.
Donc, je pense que tu as raison.

[invite57a1e779]

Dois-je comprendre qu'un polynôme de où est intègre (mais n'est pas nécessairement un corps) peut être réductible sur sans avoir de racines dans ?

Par exemple, si : le polynôme est réductible sur , mais n'a pas de racines.

[invitebb921944]

Merci beaucoup à vous deux !