[SIZE=3]Etudier la continuité et la différentiabilité de f:IR2--->IR définie par:f(x,y)=(|x|alpha.y) / (x2+y4) si x#0
et f(0.y)=0
La continuité
pour x#o il y a pas de problème de continuité
pour x ten vers 0
|f(x,x)|=(|x|alpha-1 )/(1+x2)
si alpha - 1 =< 0 limx-->0 f(x,x) # 0 = f(0.0)
et par suite f(x,y) n'est pas continue en (0.0)
condition necessaire est alpha-1>0 pour que f soit continue en (0.0)
supposons que alpha-1>0 mq f est continue en (0.0)
|f(x,y)|=< (|x|alpha |y|)/x2
|f(x,y)|=< |x|alpha-2.|y|
|f(x,y)|=< ||(x,y)||alpha-1
(x,y)--->(0.0) ==> f(x,y) --->0 = f(0.0)
donc f(x,y) est continue sur IR2
la différentiabilité
f est différentiable sur IR2 privé (0.0)
en (0.0)
|f(x,x)/x|=|x|alpha-2 )/(1+x2) tend vers 0 ssi alpha-2 >0
supposons que alpha-2>0 mq f est différentiable en (0.0)
|f(x,y)| / ||(x,y)|| =< ||(x,y)||alpha-2 tend vers 0 quand (x,y) --->(0.0)
donc f est différentiable en (0.0)
f est différentiable sur IR2
alors c bon??
j'espère ça
à vous de jujer svp
-----