Developpement asymptotique et fonction arctan
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Developpement asymptotique et fonction arctan



  1. #1
    invitecd8a9701

    Developpement asymptotique et fonction arctan


    ------

    Bonjour,

    On me donne la propriété :
    arctan(x+1)+arctan(1/x+1)=pi/2

    On me demande alors de determiner 3 reels a,b,c tels que:
    arctan(x+1)=a+b/x+c/x²+o(1/x²) (en + l'infini)

    J'imagine que l'on doit se servir d'un developpement asymptotique mais je ne vois pas vraiment comment faire.
    Pouvez vous m'aider?

    -----

  2. #2
    God's Breath

    Re : Developpement asymptotique et fonction arctan

    On te donne .

    Tu veux un développement asymptotique suivant les puissances de , donc tu poses , et tu fais des développements limités en .

    Tu commences par , que tu reportes dans la formule de départ...
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  3. #3
    invitecd8a9701

    Re : Developpement asymptotique et fonction arctan

    Tout d'abord, merci pour ta réponse.
    Voisi donc le raisonnement que j'etablis grace à la piste que tu m'as fournis :

    Je pose t=1/x.
    On a alors : t/(1+t) = t(1/(1+t)) = t(1-t+t²+o(t²)) = t-t²+o(t²)
    Et: arctan X = X + o(X²)
    Donc, par composition : arctan (t/(1+t)) = t-t²+o(t²)
    Donc : arctan (x+1) = pi/2-(1/x)+(1/x²)+o(1/x²)

    Cependant, ce résultat me laisse perplexe et j'ai peur d'avoir fait une erreur de raisonnement dans mon developpement...

  4. #4
    Thorin

    Re : Developpement asymptotique et fonction arctan

    J'ai quant à moi bien peur que ce soit exact.

    (avec réserve cependant, les DL ne sont pas mon fort)
    École d'ingénieurs + M1 Physique Fondamentale

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    God's Breath

    Re : Developpement asymptotique et fonction arctan

    Citation Envoyé par Padraig Voir le message
    Cependant, ce résultat me laisse perplexe et j'ai peur d'avoir fait une erreur de raisonnement dans mon developpement...
    Un peu plus d'assurance !!!

    Dans un calcul aussi bref, comment voudrais-tu faire une erreur que tu ne puisse déceler à la relecture ?
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  7. #6
    invitecd8a9701

    Re : Developpement asymptotique et fonction arctan

    Merci pour votre aide.
    Effectivement, pour moi aussi, les developpements limités ne sont du tout mon fort et je débute à peine en la matière donc il est vrai que j'ai des doutes sur ce que j'affirme...

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