Justification

[invite11568c71]

Bonsoir à tous,

Si je considère l'équation cos(2x) = sin(4x) alors
cos(2x) = 2sin(2x)cos(2x).

Je vois que je peux factoriser le tout par cos(2x) et conclure.

Cependant, un étudiant a élevé le tout au carré et ensuite remplacé le sin²(2x) par 1-cos²(2x) puis conclut.
En faisant cela, il a introduit des solution supplémentaires.

En fait, nous n'avons pas l'équivalence

cos(2x) = 2sin(2x)cos(2x)

<=> cos²(2x) = 4sin²(2x)cos²(2x)

Exemple, prendre 2x = -pi/6.

Comment explique-t-on cela ?

Pourquoi doit-on dès lors se limiter dans les deux premiers quadrants ?

Merci.
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[invite57a1e779]

Bonsoir à tous,

Si je considère l'équation cos(2x) = sin(4x) alors
cos(2x) = 2sin(2x)cos(2x).

Je vois que je peux factoriser le tout par cos(2x) et conclure.

Oui parce que, en écrivant , tu raisonnes par équivalence.

Cependant, un étudiant a élevé le tout au carré et ensuite remplacé le sin²(2x) par 1-cos²(2x) puis conclut.
En faisant cela, il a introduit des solution supplémentaires.

Dans ce cas l'équivalence, c'est .

En élevant au carré, tu introduis les solutions de l'équation .

[invite11568c71]

Ok oui je vois merci.

En fait le sens élevé au carré (=>) ne pose pas de problème mais le sens prendre la racine carrée (<=) bien c'est bien ca ?

Pourtant sous l'écriture suivante je n'arrive pas à conclure mon raisonnement de se limiter dans les deux premiers quadrants à cause du

|cos(2x)| = 2|sin(2x)||cos(2x)|

[invite57a1e779]

Attention !!! est équivalent à , ou encore à , mais certainement pas à : le signe « - » n'a aucun sens puisqu'une valeur absolue est nécessairement positive !!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite11568c71]

Ouf oui tout à fait !

Je devrais donc écrire (pour être sur) :

|cos(2x)| = |2sin(2x)cos(2x)|
= 2.|sin(2x)|.|cos(2x)|

et là, on doit obligatoirement se limiter dans le premier et deuxième quadrant pour avoir :

|cos(2x)| = 2.sin(2x).|cos(2x)|

Correct ?

Grand merci en tout cas !