Continu(petite question)

[invite33ae6c85]

Bonjour bonjour,
j'ai une toute petite question qui me bloque complétement pour le reste de mon devoir ...
Comment en revenant à la définition je peux montrer que la fonction qui à x associe max[f1(x),f2(x)] avec f1 et f2 deux fonctions continues définies sur un intervalle I de R. Je dois utiliser plutôt la définition avec la limite ou celle avec les epsilon et comment puis-je faire ??

Merci d'avance de votre aide future
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[invitec317278e]

Je crains qu'il ne soit difficile de se passer des epsilon.

Voilà comment je procéderais :
D'abord, je montre que la fonction est continue (évident...).
Puis je montre qu'une fonction continue qui est strictement positive en un point est forcément strictement positive sur un intervalle.
Ensuite, je fixe un x, il y a alors 3 possibilités :
-soit
-soit
-soit

Traitons le second cas :
Alors, est strictement positive sur un intervalle contenant x, et sur cet intervalle. On montre alors facilement que la fonction est continue en x.

Le troisième cas se traite de la même manière.

Traitons le premier cas :
-Alors, à gauche de x, soit la fonction est nulle sur un intervalle dont x est une borne, soit elle est positive sur un intervalle dont x est une borne, soit elle est négative sur un intervalle dont x est une borne, en somme, la fonction max vaut soit f_1 soit f_2 sur un intervalle, et on peut alors facilement montrer que f est continue à gauche en x.
On montre de même que f est continue à droite en x.
On conclut alors en disant qu'elle est continue en x car les limites a droite et à gauche sont les mêmes.

Un peu long, mais ça respecte l'intuition.

[invite33ae6c85]

En quoi utilises-tu les epsilon dans ta démonstration... Il y a beaucoup de choses donc tu dis on démontrer que on démontrer que mais mon problème c'est que je ne sais pas démontrer que ...

J'aimerais aussi savoir en quoi l'hypothèse de la continuité de f1-f2 est importante??

Une dernière chose... quand j'ai montré tout ç alors dans le deuxième et troisième cas c'est trivial ainsi que dans le premier... car je sais que f1 et f2 sont continues donc je n'ai pas besoin de démontrer ...

Je ne vois pas où tu reviens à la définition dans ta démonstration... Peux-tu me réexpliquer ???

Merci d'avance.

[invitec317278e]

Il n'y a qu'un point que tu dois réellement démontrer, c'est que si une fonction continue est strictement positive en un point, elle l'est sur un intervalle contenant ce point, le reste, j'ai détaillé.

La continuité de est importante car elle implique que si est strictement positive à un moment, alors, elle est strictement positive sur un intervalle, et non pas juste en un point isolé. Ceci implique en fait que si la fonction vaut en un endroit, alors, elle vaut sur un intervalle entier, et comme est continue, la fonction max l'est alors aussi.

Une dernière chose... quand j'ai montré tout ç alors dans le deuxième et troisième cas c'est trivial ainsi que dans le premier... car je sais que f1 et f2 sont continues donc je n'ai pas besoin de démontrer ...

Je te demande pas de montrer que f1 et f2 sont continues, mais que la fonction max(f1,f2) est égale à la fonction f1 sur certains bons intervalles, et à la fonction f2 sur certains autres bons intervalles....et dans ce cas, admet les mêmes limites sur ces intervalles que ces fonctions.

Je ne vois pas où tu reviens à la définition dans ta démonstration... Peux-tu me réexpliquer ???

Il faut revenir à la définition pour montrer que si une fonction continue est strictement positive en un point, alors, elle l'est sur un intervalle contenant ce point.


De plus, peut être que si tu prenais plus de 13minutes pour essayer de démontrer ce que je dis, tu aboutirais plus.


si quelqu'un d'autre trouve ce que je fais foireux/inutile, n'hésitez pas à le signaler.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite33ae6c85]

Ha mais non non je n'ai absolument pas dit que c'était foireux et inutile je suis désolé si tu l'as compris comme cela c'était pas mon but c'est déjà tres gentil de ta part de m'aider comme cela... Maintenant que j'ai eclairci les quelques points je vais me pencher sur la démonstration et je vais tout rédiger!! je te recontacte si j'ai un problème...!! Merci encore beaucoup beaucoup

[invitec317278e]

Ca ne t'était pas spécialement destiné, j'aimerais juste avoir des avis sur cet exo.

[invite33ae6c85]

d'accord ^^ ben merci beaucoup encore ^^ et je vais refaire ça tranquillement demain et je te recontacte si j'ai un problème.! Merci encore!!!

[invite33ae6c85]

rebonjour,
j'ai un petit problème
Je me demande si il n'est pas juste nécessaire et suffisant de faire cela:
On se place en x et on distingue deux cas :

si f1(x) différent de f2(x) : pas de problème, dans un voisinage de x, le max est égale à f1 ou bien le max est égale à f2 sur ce voisinage.

si y=f1(x) égal f2(x) : pas de problème, pour toute suite xn qui tend vers x, f1(xn) et f2(xn) tendent vers y. A fortiori le max aussi.


Ai-je vraiment besoin d'étudier le fait que f1-f2 est continue?? Ca a son importance pour montrer que si f1(x) est supérieur a f2(x) en un point alors elle es sur un intervalle contenant ce point c'est bien cela ? mais je n'avais jamais vu ce genre de choses en cours...!??

j'ai encore besoin d'un coup de main je crois !!!

[invite57a1e779]

Grosse astuce : , et tout va bien.

[invitec317278e]

Mais comment sais tu a priori que "le max fans un voisinage vaut soit toujours f1 soit toujours f2" ?

[invitec317278e]

Grosse astuce : , et tout va bien.

Vu comme ça, forcément !
bravo.

[invite33ae6c85]

ouais l'astuce est bonne mais en fait je l'avais deja mais justement je n'ai pas le droit de l'utiliser car je l'ai déja fait dans lotre question je devais demontrer de deux manieres differentes!!

Thorin: ben si on a deux fonctions sur un voisinage de x on a forcement soit la fonction qui vaut f1 soit f2 non ?????

[invite33ae6c85]

par exemple si f1 est différent de f2 sachant que les deux fonctions sont continue sur l'intervalle en question alors forcement soit f1(x)>f2(x)
ou bien f2(x)>f1(x) dans ce cas c'est réglé ...
enfin ca me semble assez évident enfin je ne sais pas j'ai du mal à saisir l'importance de l'hypothèse de la continuité de f1-f2 peux tu me reexpliquer stp!!?

[invite9c7c7515]

une façon plus simple de repondre...

soit x dans I et soit (x_n) une suite d'elements de I qui converge vers x

2 cas à etudier

1^er cas:
f₁(x) = f₂(x) (evident)

2^éme cas:
(clé: -----> tens vers n à l'infini)

ona max(f₁(x) , f₂(x))=((f₁(x) + f₂(x))+|f₁(x) - f₂(x)|)/2

f₁ + f₂ est continue sur I donc f₁(x_n) + f₂(x_n)----->f₁(x) + f₂(x)

A->|x| continue sur IR-{0}
B->f₁(x) - f₂(x) continue sur I à valeur dans IR-{0}

donc AoB(x_n)----> AoB(x)

ccl: max(f₁(x_n) , f₂(x_n))----->max(f₁(x) , f₂(x))

donc f est continue

c'est un peut comme sortire un bazouka pour tuer une mouche mais c'est automatique

[invitec317278e]

Si tu utilises le fait que , on peut directement conclure...

[invite33ae6c85]

non non comme je vous l'écris plus haut cette astuce je l'ai déja utilisé mais l'énoncé de mon exercice veut que dans un premier temps j'utilise l'astuce ... et dans un deuxieme temps je dois utiliser la définition c'est pour ca que je vous demande de l'aide parce que je dois le faire de deux manières différentes!! donc la j'ai vraiment besoin de votre aide .....
Quelqu'un peut-il me reexpliquer svp??

Merci d'avance pour votre aide future

[invite9c7c7515]

désolé javais pas lu ce qu'il y avait avant pour avoir agi de la sorte j'ai pris le temps rediger une autre reponse en espérant que c'est bien ce que t'attend

[invite9c7c7515]

Soient deux fonctions f et g qui ont pour limites l, l’ en a.

on va traiter 3 cas (l<l' , l>l' , l=l')

1-Supposons que l<l’, ( l et l’ réels car f, g sont continue)

Dans ce cas il existe un réel A tel que l<A<l’ et r >0 , r' >0 tels que:
pour tout x dans ]a-r,a+r[ f(x)<A
pour tout x dans ]a-r’,a+r’[ A<g(x)

en prenant p=min(r,r’), donc sur I=]a-p,a+p[ on a à la fois
f(x)<A et A<g(x) donc f(x)<g(x) sur I

or max(f(x),g(x))=g(x) sur I donc max(f(x),g(x)) tend vers l’=max(l,l’)

il faut pas oublier de dire que si Si u et v sont égales dans un voisinage de a, alors si u(x) tend vers l quand x tend vers a, v(x) tend aussi vers l quand x tend vers a.

Le cas l>l’ est évidemment identique

reste le cas l=l’.

Soit e>0 En appliquant la définition la limite à f puis à g, on trouve m et n tels que:
|x-a|<m => |f(x)-l|< e
|x-a|<n => |g(x)-l|<e .

pour q=min(m,n) si |x-a|<q, on a donc à la fois l-e<f(x)<l+e et l-e<g(x)<l+ e
donc l-e<max(f(x),g(x))<l+e

Comme on peut trouver un tel q pour chaque e on a donc bien montrer que max(f(x),g(x)) tend vers l= max(l,l')

[invite9c7c7515]

tien moi au courant d'accord

[invite33ae6c85]

j'ai une petite question!! Je suis globalement très d'accord avec ton raisonnement
Je me pose tout de meme quelques questions ...
qui sont u,v,q
et aussi comment qu'on peut affirmer que f et g ont des limites ????

Désolé mais j'ai un peu de mal avec ce genre de petites démonstrations je vosi bien comment faire mais je suis un peu paumé!!!

Merci encore de ton aide

[invite9c7c7515]

c'est un theoreme qui dit :u et v sont égales dans un voisinage de a, alors si u(x) tend vers l quand x tend vers a, v(x) tend aussi vers l quand x tend vers a
puis a u=max(f(x),g(x))
v=max(f(x),g(x))|I (|I restriction sur I)

comme j'ai expliquer f(x)<g(x) sur I et non sur IR

max(f(x),g(x))=g(x) uniquement sur I tens vers l'=max(l,l')
mais grace au thm on dit que max(f,g)tens ver l' aussi

concernant la limite elle existe car les f et g sont continue c'est dans ton enoncé

[invite9c7c7515]

CORRECTION DE SYNTAXE

u et v etai des fonction quelconque qui son egals sur un voisinage de a
donc on peut appliquer le thoreme à:

u=max(f(x),g(x))
v=max(f(x),g(x))|I (|I restriction sur I)

comme j'ai expliquer f(x)<g(x) sur I et non sur IR

max(f(x),g(x))=g(x) uniquement sur I tens vers l'=max(l,l')
mais grace au thm on dit que max(f,g)tens ver l' aussi

concernant la limite elle existe car les f et g sont continue c'est dans ton enoncé