Ensembles-Inclusion

[inviteea5db5e2]

Bonsoir,
je suis à la recherche d'une idée de démontration pour la propriété suivante :



Est-ce que je dois séparer les deux sens de l'équivalence et montrer les deux implications ?

Il faut sans doute revenir à la définition de l'inclusion : quel que soit x élément de A, on a x élément de B ?

Mais ce qui me pose problème c'est la somme des sous-ensemble de A P(A) et de B P(B)...

Merci d'avance pour votre aide.
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[invite57a1e779]

Bonjour,

Il faut sans doute revenir à la définition de l'inclusion : quel que soit x élément de A, on a x élément de B ?

Il faut surtout revenir à .

[invite7ffe9b6a]

On suppose

On veut montrer

Soit alors .... ... ... ... ... .. .

donc

Reciproquement on suppose

soit x dans A .... .... .... ... x dans B

[inviteea5db5e2]

Je ne comprends pas trop Antho...

Est-ce que le x minuscule dont tu parles est un ensemble ? Parce que notre prof nous a dit qu'on ne peut avoir que des sous-ensemble qui soient dans un un ensemble comme P(A)... On aurait donc le droit de dire qu'un élément fait partie de la somme des sous-ensembles de A c'est à dire P(A) ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

Si , alors .

Les éléments de sont eux-mêmes des ensembles : tu écris par exemple lorsque , ou . D'ailleurs les éléments de sont eux-mêmes des ensembles : en théorie des ensembles, tous les objets que tu manipules sont des ensembles...
La différence essentielle, c'est que l'élément de est un ensemble, mais on ne connaît pas ses éléments, alors que l'élément de est un ensemble qui, lui, est connu par la liste de ses éléments, liste qui se réduit à l'élément de .

Si maintenant, tu considères un ensemble , alors .

Tu dois facilement comprendre que si et seulement si tu retrouves tous les éléments de dans , ce qui a lieu si et seulement si tu retrouves tous les éléments de dans , c'est-à-dire . Reste à le démontrer proprement avec le formalisme de la théorie des ensembles.

[invite7ffe9b6a]

Je ne comprends pas trop Antho...

Est-ce que le x minuscule dont tu parles est un ensemble ? Parce que notre prof nous a dit qu'on ne peut avoir que des sous-ensemble qui soient dans un un ensemble comme P(A)... On aurait donc le droit de dire qu'un élément fait partie de la somme des sous-ensembles de A c'est à dire P(A) ?

un élement de P(A) est un ensemble d'élement de A, ce qu'à écrit God's Breath dans son premier post.

[inviteea5db5e2]

La différence essentielle, c'est que l'élément de est un ensemble, mais on ne connaît pas ses éléments, alors que l'élément de est un ensemble qui, lui, est connu par la liste de ses éléments, liste qui se réduit à l'élément de .

Element b dont on ne connaît pas les éléments !

A part cette phrase, je pense avoir compris. Merci à vous deux en tout cas de prendre le temps de m'expliquer !

Je vous poste mon idée de démonstration :



Voilà ! Est-ce que c'est correct ?

PS- Est-il correct d'écrire :



Pour en déduire

Merci de vos réponses.

[invite7ffe9b6a]

Pour la réciproque , il serait plus rigoureux de prendre x dans A et de montrer qu'il est dans B.

x est dans A donc {x} est dans P(A) C P(B) donc {x} est dans P(B) donc x est dans B

[invite57a1e779]

Pour la réciproque , il serait plus rigoureux de prendre x dans A et de montrer qu'il est dans B.

C'est une autre méthode, mais elle n'est pas plus rigoureuse. Les deux se valent, encore que MS.11 en fasse trop.

Donc on a soit par definition

MS.11,

La dernière phrase n'est pas très correcte, la définition de est : . Si tu veux en passer par cette définition, il faut utiliser la rédaction de Antho07.

De plus tu montres un résultat très fort : , que tu utilises seulement pour ; ton raisonnement est en fait : ; rédige-le donc dans ce seul cas :
Supposons . On a .

[invite57a1e779]

Element b dont on ne connaît pas les éléments !

J'aurais dû dire : « l'élément dont les éléments n'interviennent pas explicitement dans la question ».

Si tu as un problème sur l'ensemble des nombres réels, tu peux être amené à écrire ou, de façon équivalente, .
L'ensemble est clairement défini par ses éléments : . Par contre, qu'en est-il du nombre ?

Le nombre est un objet mathématique et à ce titre, c'est un ensemble... mais un ensemble de quoi ? Lorsque l'on étudie les fondements des mathématiques, on peut (on doit...) être amené à réfléchir à la construction du nombre en tant qu'ensemble, mais, dans l'usage mathématique usuel, la relation n'est jamais utilisée, et la plupart des mathématiciens demanderont un temps de réflexion si on leur pose à brûle-pourpoint la question « quelle est la nature des éléments du nombre réel en tant qu'ensemble ? ».
C'est techniquement la même situation dans ton exercice : l'élément de est lui-même un ensemble ; à ce titre il a des éléments, mais comme ils n'interviennent pas dans la question, on oublie ces éléments, et on finit par ne plus les connaître. En fait, on a même jamais eu besoin de les connaître, bien qu'ils existent de façon nécessaire du point de vue formel de la théorie des ensembles.

[inviteea5db5e2]

Merci encore de m'avoir éclairé.

Pour conclure, une démo propre et pas trop lourde serait :

Supposons

On a donc
Finalement

Supposons
De manière évidente :
Par conséquent

D'où la relation d'équivalence :

Est-ce que cela vous semble bon ?

[invite57a1e779]

Personnellement, cela me convient.