Encore et toujours de l'algèbre linéaire... :(

[invite16343f37]

Bonsoir à tous, voici un petit problème d'algèbre linéaire qui me tracasse, alors voyons voir si vous pourriez me donner un coup de main

À tout vecteur v E R^3, on associe un élément fv E (R^3)* défini par fv(w)=v .w (produit scalaire), pour tout w E R^3.
Démontrer que l’application S : R^3-->(R^3)* définie par S(v)=fv, pour tout v E R^3 est un isomorphisme.
Bon, alors, il est clair que pour prouver cela, nous devons montrer que c’est une transformation linéaire, puis montrer que c’est injective et surjective (donc bijective).
Mais le hic, est que je ne comprends pas très bien ce que la notation S : R^3--->(R^3)* signifie… Est-ce juste une transformation qui va de R^3 à R?
Puis ensuite, prouver que c’est isomorphique n’est pas évident non plus… Tous indices seront grandement apprécié!!
Merci d’avance!!
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[invite57a1e779]

Mais le hic, est que je ne comprends pas très bien ce que la notation S : R^3--->(R^3)* signifie… Est-ce juste une transformation qui va de R^3 à R

Les éléments de sont des triplets : on écrit lorsque .

Les éléments de sont des formes linéaires sur on écrit lorsque est une application linéaire de dans , c'est à dire .

Ton application est définie par , où l'application est définie par .

Il faut considérer la notation comme une application dépendant d'un paramètre, comme lorsque tu définis une application de dans par où est un paramètre réel. Ici est une application où le paramètre est un vecteur, élément de .

Pour démontrer que , tu dois établir que , c'est-à-dire l'égalité de deux applications : il te faut donc établir que, pour tout , .

Ce sera la même chose dans tout l'exercice : tu réécris la propriété envisagée pour en termes d'applications , et tu établis la relation voulue en prouvant qu'elle vaut pour tout élément .