Vecteur égale à ses coordonnées ? Et graphe d'une fonction.

[neokiller007]

Salut,

Pourquoi écrit-on ? On assimile des vecteurs à des couples de nombres (dans le plan, triplet dans l'espace, et n-uplet en dimension n), alors qu'un vecteur c'est bien plus que ça. Et de plus je trouve ça étrange parce que jusqu'au lycée on a toujours noté (ou en colonne mais c'est pareil).

Et dans mon cours j'ai le graphe d'une fonction défini comme: Donc je me suis dit graphe ne veut pas dire graphique (ou courbe représentative). Mais en fait si parce que dans une question j'ai vu "tracer le graphe de f". Et assurément un dessin ce n'est pas un ensemble de couple de point!

Merci de m'expliquer toutes ces étrangetées.
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[neokiller007]

Ca n'inspire pas grand monde on dirait.

[God's Breath]

Bonjour,

Pourquoi écrit-on ?

Tout dépend dans quel espace vectoriel vit ton . Si c'est , alors est un couple de nombres réels, on doit bien écrire puisque est un couple .

Et dans mon cours j'ai le graphe d'une fonction défini comme: Donc je me suis dit graphe ne veut pas dire graphique (ou courbe représentative). Mais en fait si parce que dans une question j'ai vu "tracer le graphe de f". Et assurément un dessin ce n'est pas un ensemble de couple de point!

Lorsque l'on dit « tracer le graphe de », c'est effectivement un abus de langage. On trace seulement l'ensemble des points du plan dont les coordonnées sont les éléments du graphe de .

[neokiller007]

Bonjour,



Tout dépend dans quel espace vectoriel vit ton . Si c'est , alors est un couple de nombres réels, on doit bien écrire puisque est un couple .

Alors pourquoi jusqu'au lycée on note ?

Lorsque l'on dit « tracer le graphe de », c'est effectivement un abus de langage. On trace seulement l'ensemble des points du plan dont les coordonnées sont les éléments du graphe de .

Ok

[A voir en vidéo sur Futura]

[God's Breath]

Alors pourquoi jusqu'au lycée on note ?

Parce qu'au lycée, on n'utilise que des vecteurs « géométriques ». On fait donc la différence entre l'objet « vecteur », et l'objet « couple des coordonnées », .

Mais à partir du moment où l'on définit les espaces vectoriels en toute généralité, on agrandit le champ d'utilisation du mot « vecteur » : des polynômes, des fonctions, des suites, ... sont des éléments d'espaces vectoriels, et, à ce titre, sont des vecteurs ; en particulier les couples de nombres réels sont désormais des vecteurs.

[invité576543]

Pourquoi écrit-on ?

On peut le voir de différentes manières. La plus simple, à mon avis, est de voir cela comme un raccourci de notation, une manière plus courte d'écrire quand les vecteurs de base sont connus. Cette manière de voir est totalement générique.

(Même le cas de R² s'interprète comme cela, la base (1,0) et (0,1) étant alors la base naturelle donc implicite si aucune autre base n'est précisée. Mais il existe d'autres bases de R²...)

On assimile des vecteurs à des couples de nombres (dans le plan, triplet dans l'espace, et n-uplet en dimension n), alors qu'un vecteur c'est bien plus que ça.

Tout à fait, et c'est une excellente réflexion.

Cette "assimilation" est permise par la bijection entre R² et l'espace-vectoriel , bijection qui respecte les propriétés liées aux opérations donnant la structure d'espace vectoriel, mais c'est bien une correspondance entre deux objets de nature différente en règle générale.

Cordialement,

PS: Tout cela s'étend à des espaces vectoriels d'autres dimensions, ou d'autres corps de base.

[neokiller007]

Et est-ce que tu peux me dire ce qu'est un espace vectoriel? Est-ce lié à la notion de (qui est un ensemble de vecteur, donc un ensemble de couple dans R²) ?

Je sais ce qu'est une bijection pour une appliation, mais une bijjection entre R² (qui est donc un ensemble de couple) et un espace-vectoreil je ne sais pas ce que ça signifie

[invité576543]

Au sens le plus général un espace vectoriel est un ensemble sur lequel sont définies deux opérations, l'une interne, l'addition, et l'autre externe, la multiplication par un scalaire, un élément d'un corps, R par exemple. Ce avec quelques propriétés qui doivent être vérifiées.

C'est pour cela que God's Breath dit que des polynômes par exemple forment un espace vectoriel : on peut additionner les polynômes entre eux, ou multiplier un polynôme par un scalaire ce qui donne un polynôme.

Je sais ce qu'est une bijection pour une appliation

Ce n'est pas très clair, là. C'est quoi pour toi une bijection? (Il me semble utile de savoir un peu ce que tu sais pour répondre efficacement à l'autre question...)

Cordialement,

[neokiller007]

Ben une application f de E dans F est bijective si et seulement si En clair tout élément de F admet exactement un antécédent par f.

[neokiller007]

Sinon pour être sûr de bien comprendre: une opération interne c'est une opération entre deux éléments de l'ensemble ? Et une opération externe c'est une opération entre un élément de l'ensemble et un élément d'un autre corps (d'ailleurs pourquoi on dit corps et pas ensemble ?)

Et pourquoi on a choisi l'addition comme opération interne et la multiplication par un scalaire comme opération externe ?

[invité576543]

Sinon pour être sûr de bien comprendre: une opération interne c'est une opération entre deux éléments de l'ensemble ?

Oui. Il est mieux de préciser que le résultat est dans le même ensemble.

Et une opération externe c'est une opération entre un élément de l'ensemble et un élément d'un autre corps

Plus exactement, une opération externe c'est une opération entre un élément de l'ensemble et un élément d'un autre ensemble résultant en un élément du premier ensemble.

(d'ailleurs pourquoi on dit corps et pas ensemble ?)

C'est ce qu'on dit en général pour une opération externe. Dans le cas de l'opération externe d'un espace vectoriel, on impose en plus que l'autre ensemble ait une structure de corps.

Et pourquoi on a choisi l'addition comme opération interne et la multiplication par un scalaire comme opération externe ?

Question difficile! En gros, selon moi, parce que la structure d'espace vectoriel a beaucoup d'applications tant en mathématique qu'en physique. C'est une structure que l'on rencontre souvent, les mathématiciens l'ont détectée puis formalisée.

Ben une application f de E dans F est bijective(...)

OK.

La relation entre (x,y) un élément de R², et

\vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j}

, un élément de l'espace vectoriel, est une application bijective (qui dépend de la base): ça devrait être clair.

Et elle respecte la structure, c'est à dire par exemple que l'image d'une somme de couples est égale à la somme des images des couples. Du coup on peut "travailler" sur les couples de réels et en tirer des informations sur les vecteurs de l'autre espace.

Cordialement,

[neokiller007]

Ok, je commence à bien comprendre le notion d'espace vectoriel.
Mais il y a encore une chose que je ne comprend pas.
Je suis allez à la BU me chercher des livres de maths et ils définissent un espace vectoriel comme un ensemble sur lequel on définit une opéraiton interne et une autre externe etc.., bref tout ce que tu m'as dit.

Mais dans ces livres (et sur internet également) ils ne parlent pas de n-uplets.
Ils disent seulement que les éléments de l'espace vectoriel s'apellent des vecteurs (et ils les notent avec des lettres latines sans flèches). Mais il n'est jamais dit que ces éléments sont des n-uplets.

Alors que ma prof ne se gène pas pour noter(et sans explications)