equation differentielle heeelp !!!!!

[inviteb4fa5c74]

bonsoirs a tous voila j'ai un petit probleme et je ne sais pas comment my prendre pour le resoudre je sais que peut etre il est facile mais moi je ne sais pas comment proceder avec ce genre de probleme alors pouvez vous m'expliquer comment faire pleaaaaase
alors on a :

une reserve africaine peut supporter un troupeau de 600 elephants et contient actuellement un troupeau de 250 qui croit de facon expnentielle avec le taux de 12% par an
1. soit N(t) la taille du troupeau, donner l'equation deifferentielle d'acroissement libre du troupeau.

2. donner la taille du troupeau en tenant compte de la contrainte nombre maximum d'elephant est 600.

3. trouver la taille du troupeau dans 8ans
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[Arkangelsk]

Bonsoir,

Pour le 1. as-tu une idée ? (Pour transcrire mathématiquement les données du texte)

[inviteb4fa5c74]

voila je suis en premiere annee en biologie on a fait les equation differentielle au lycee mais je n'ai jamais eu a faire a ce genre d'exercice et je n'ai que le cours ce que j'ai fait c'est :

N(t)= 600-250 e^(1.2)


P.S: excuse pour les fautes d'orthographe j'ai un clavier anglais

[Arkangelsk]

N(t)= 600-250 e^(1.2)

Est-ce que tu pourrais expliquer ton raisonnement ?

Où intervient le temps (en années, par exemple) dans ton expression ? Ce que tu as écrit signifie , ce qui ne va pas.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jeanpaul]

Si ton troupeau a une taille de N, au bout de 1 an, il s'est accru de combien ?
Cette quantité, c'est dN/dt, variation dN pendant le temps dt (dt = 1 an)

[inviteb4fa5c74]

donc si one pose k=nombre d'elephants actuellement ca sera N'=k e^1,2t

[Arkangelsk]

Bonjour,

donc si one pose k=nombre d'elephants actuellement ca sera N'=k e^1,2t

Que vaut ?

Comment introduis-tu l'exponentielle et pourquoi ?

[Jeanpaul]

donc si one pose k=nombre d'elephants actuellement ca sera N'=k e^1,2t

Ce n'est pas juste. Pourquoi ne réponds-tu pas aux questions tout simplement ?

[inviteb4fa5c74]

j'introduit l'exponentielle parceque les elephants croissent de facon exponentielle non ????

1,2 c'est 12% par an c'est a dire t ???

[Jeanpaul]

1,2 c'est 12% par an c'est a dire t ???

Je ne comprends pas cette phrase.
Si la population augmente de 12% par an, c'est qu'après un an, elle augmente de 0,12 N
Donc dN/dt = 0,12 N et là on peut faire une exponentielle. Tu as écrit comme si elle augmentait de 120%

[Arkangelsk]

j'introduit l'exponentielle parceque les elephants croissent de facon exponentielle non ????

1,2 c'est 12% par an c'est a dire t ???

1. C'est une erreur de raisonnement, du moins de méthode. A partir des données du problèmes, tu peux déduire que l'évolution sera exponentielle et non le poser directement. Comment expliquerais-tu d'emblée à quelqu'un qui ne connaît pas la fonction exponentielle ?

2. Ca ne veut pas dire grand chose. Et puis, ça serait plutôt 20% et non 12%...

Il reste la question de Jeanpaul et ma première question.

[inviteb4fa5c74]

oui c'est vrai donc c'est N'=1.2N c'est ca ???
et le N c'est la fonction exp en fonction du temps ????

merci beaucoup pour vos reponses je sais j'ai la tete un peut dur

excusez moi mais pourquoi 20% il nous en bien dit qu'ils evoluaient bien en taux de 12 % non ????

[Jeanpaul]

oui c'est vrai donc c'est N'=1.2N c'est ca ???
et le N c'est la fonction exp en fonction du temps ????

merci beaucoup pour vos reponses je sais j'ai la tete un peut dur

Pas qu'un peu ! N' c'est la dérivée de N, ou aussi dN/dt. C'est l'ACCROISSEMENT de N, pas sa nouvelle valeur. Même si N' était la nouvelle valeur de N, ce ne serait pas 1,2 N qui est une augmentation de 20%.
Tu es sûr de bien comprendre les % ?

[Arkangelsk]

On se rapproche mais ce n'est pas encore ça.

N c'est la fonction exp en fonction du temps ????

Pas si vite ! Corrige plutôt :

N'=1.2N

excusez moi mais pourquoi 20% il nous en bien dit qu'ils evoluaient bien en taux de 12 % non ????

Le 20%, c'est toi qui l'écris !

[inviteb4fa5c74]

je ne comprend pas ce que signifie par exemple dx/dy je sais que c'est y'(x) mais dans le reel c'est toujours l'accroissement de x par rapport a y ??????

[Jeanpaul]

y'(x) c'est par définition la limite du rapport dy/dx des accroissements quand dx est petit (tend vers zéro). Ici, la variable s'appelle t et la fonction s'appelle N.
Pendant le temps dt = 1 an, la population s'accroît de dN = 12% de N, soit 0,12 N.
Donc la dérivée N' par rapport au temps vaut 0,12 N et là on intègre comme tu as dû voir dans ton cours. Ca va donner N0 exp(0,12 t) où N0 est la population de départ. t est exprimé en années.

[Arkangelsk]

C'est juste une question de notation.

est la limite de l'accroissement de par rapport à

[inviteb4fa5c74]

aaahhhh donc il nous ont donne le resultat sous forme ecrite et i l nous demende de trouver l'equation qui donne ce resultat c sa

[inviteb4fa5c74]

donc ca nous fait N=e^c . e^0,12t

c :constante d'integration si on pose k = e^c ca nous fait

N=k e^0,12t et N c'est 250 dans l'exercice c'est bien ca ?????

[Jeanpaul]

Voilà, on y est. Les valeurs numériques, maintenant.

[inviteb4fa5c74]

donc on remplace ca nous fait 250=k e^(-0,120)(1)

250=e^c (0,88)

e^c=281

c=ln281

c=5,64
ca nous fait N=e^5,64 e^(-0,12t)

N=281 e^(-0,12t)

que veut dire la contrainte nombre maximum ???

[inviteb4fa5c74]

pardon erreur de calcule

j'ai trouve N=14,68 e ^0,12t

[Jeanpaul]

Avec cette équation, si je fais t=0, soit l'instant initial, tu as 14,68 éléphants.
Non, l'équation c'est N = 250 exp(0,12 t)
Fais t= 8 et ça donnera la population dans 8 ans.

[Arkangelsk]

Je ne suis pas très en forme moi non plus...

Au bout d'un an, ne devrait-on pas avoir ?

Ce qui est différent de .

Je n'arrive pas à voir où est mon erreur...

[Jeanpaul]

Quand on résoud une équation différentielle on rend continu un phénomène qui ne l'est pas.
250.exp(0,12) = 281.87
250 * 1.12 = 280
Franchement, est-ce qu'on est à un éléphant près ?

[Arkangelsk]

Quand on résoud une équation différentielle on rend continu un phénomène qui ne l'est pas.
250.exp(0,12) = 281.87
250 * 1.12 = 280
Franchement, est-ce qu'on est à un éléphant près ?

En fait, j'avais trouvé comme solution :



C'est ça qui me pose problème. Cette solution est-elle valable ?

[Jeanpaul]

C'est pratiquement la même chose car Ln(1 + a) vaut sensiblement a si a est petit devant 1. Mais si on raisonne en termes de progression géométrique, discontinue par nature, alors il ne faut plus parler d'équation différentielle qui est continue par nature. L'exponentielle a été inventée pour généraliser la notion de progression géométrique.

[Arkangelsk]

OK. Merci beaucoup pour ta réponse. Ma solution ne répond donc pas au problème. Cela dit, si on avait eu une augmentation de 80%, l'écart sur une année aurait été beaucoup plus important. Y a-t-il une limite quant-à l'utilisation des deux expressions ?

[Jeanpaul]

La limite est celle que l'on se donne sur la précision souhaitée. Ce n'est pas pareil quand on compte des éléphants (pas précis) et quand on calcule des intérêts composés (au centime près car les banquiers sont des gens rigoureux qui ne font jamais d'erreurs).

[inviteb4fa5c74]

Avec cette équation, si je fais t=0, soit l'instant initial, tu as 14,68 éléphants.
Non, l'équation c'est N = 250 exp(0,12 t)
Fais t= 8 et ça donnera la population dans 8 ans.

je ne comprend pas ta solution comment peut tu remplacer mon k avec 250 et que veut dire "en tenant compte de la contrainte nombre maximum d'elephant est 600"?????

je vous remercie infiniment de m'avoir aider