topologie : demonstration

[invite5cd8ece3]

le professeur m'a chargé de chercher une demonstration de la proposition suivante, et vu que je ne la trouve pas, je vous demande de bien m'aider (c'est une proposition qui facilite par la suite la demonstration du theoreme de stone-weistrass)

soient E un espace topologique compact et A ⊂ C(E,IR) tels que:
1/ si f, g ∈ A alors inf(f,g) et sup(f,g) ∈ A.
2/ V x,y ∈ E, x ≠y et Vα,β ∈ IR, il existe f ∈ A telle que f(x)=α et
f(y)= β

alors adh(A)=C(E,IR).

(j'ai mis V pour dire "quelque soit, j'ai pas su ecrire le symbole)

aidez moi, s'il vous plait
et merci d'avance
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[invite5cd8ece3]

aidez moi s'il vous plait

[invite986312212]

bonjour,

tu as oublié de préciser la norme, je suppose que c'est celle de la convergence uniforme (?)
connais-tu la notion de partition de l'unité?

[invite5cd8ece3]

oui oui evidemment, A est muni de la norme de la convergence uniforme.
et... la notion de partition de l'unité!!! non je pense pas que je connais

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite769a1844]

Bonjour,

on prend un et on se fixe un , on cherche un tel que .

En utilisant (2) on peut trouver pour distincts un de sorte que et .

1) On pose . Montre que c'est un ouvert qui contient .

2) Pour fixé les recouvrent , par compacité de on peut extraire un sous-recouvrement fini .

On pose .

On a , et .

3) En faisant à peu près pareil que précédemment tu dois pouvoir trouver, à partir des , un qui comme vérifie , mais qui vérifie aussi .