Topologie
Bonjour je n'arrive pas à faire cet exercice pouvez-vous m'aider?svp merci
Si A et B sont deux ensembles bornés non vides de R, comparer avec supA, infA, supB, infB les nombres suivants:
i) sup(A+B)
ii) sup(AUB)
iii) sup(A inter B)
iv) inf (AUB)
v) inf(A inter B)
Voilà la réponse du 1). C'est la même méthode pour les autres questions :
soit a dans A et b dans B. Alors, comme a <= supA et b <= supB on a
a + b <= supA + supB
Donc sup(A+B) <= supA + supB
Je penche plutôt pour une égalité...Envoyé par indian58
Oui d'ailleurs pour les 5 questions, il y a toujours une inégalité ""évidente"". Il reste à montrer l'égalité s'il y a lieu sinon de trouver un contre-exemple à l'égalité.
oui il me semble bien qu'il y a égalité pour la i)
par contre les autres je ne sais pas trop
Oui, en effet : on peut trouver deux suites An et Bn tendant chacun vers supA et supB. Or An + Bn est dans A+B, donc comme An + Bn tend vers supA + supB, on voit que supA + supB <= sup(A+B).
cqfd
bonjour,
c'est quoi le sens de sup(A+B) <= supA + supB ???
on compare des nombres réels, soit ils sont égaux, soit y'en a un plus grand que l'autre, à la limite y'en a un c'est l'ensemble vide si on prend l'intersection A et B disjoints, mais là, je ne comprends pas le sens d'une implication...
En revanche, les éléments de A+B sont l'ensemble A+B={a+b, où a appartient à A, et b appartient à B}
D'un autre coté, AuB={x, où x appartient à A, ou x appartient à B}.
Après, pour comparer les sup de chaque ensemble, je pense qu'il y a differents cas à distinguer, mais en tout cas attention à la nature des objets à comparer.
Après la question serait lequel est plus grand
EDIT: je viens de comprendre que vos "<=" etaient des inférieur ou égal, sorry
C'est pas grave.
EDIT: je viens de comprendre que vos "<=" etaient des inférieur ou égal, sorry
merci de m'aider
pour le i) je pense que c'est bon
j'ai trouvé les relations suivantes mais je suis pas sur:
ii) sup(AUB)=max(supA, supB)
iii) sup(A inter B)<=min(sup B, sup A)
Oui c'est bon.
Il me semble que sup(A inter B) peut ne pas exister (si A inter B = vide), mais que s'il existe en dire un peu plus : max(inf(A), inf (B)) <= sup(A inter B) <= min(sup (B), sup (A))
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
ok merci
j'ai trouvé aussi que inf(AUB)=min(inf A,inf B) est-ce bien ça?
Par contre je ne trouve pas la dernière relation quelqu'un peut m'aider?
Même chose que le sup.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Oui, en effet.
ok merci
a-t-on inf(A inter B)<=max(infA, inf B) ou bien c'est égal?
ou ni l'un ni l'autre?
Si A et B sont disjoints, c'est faux.
ok et en supposant que A inter B non vide?
est-ce que c'est <= ou =?
Et je t'ai déjà répondu : même chose pour le inf
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
ni l'un ni l'autre : >= et c'est tout.
a ok donc en fait c'est inf(A inter B)>=max(infA, inf B)
comment je peux le démontrer?
Toujours la même méthode : soit x dans AinterB, x >= infA, infB donc x>=max(infA, infB). donc, inf(AinterB) >= max(infA, infB). Et un contre-exemple pour prouver la fausseté du sens contraire.
ok merci
sinon j'ai fait ça
il existe une suite (xn) appartenant à A qui converge vers x>=inf A
il existe une suite (yn) appartenant à B qui converge vers y>=inf B
Soit zn=xn inter yn, zn appartient donc à A inter B et zn converge vers z>=max(infA, inf B)
D'ou fin(A inter B)>=max(inf a, inf B)
Rien ne te dit que ces deux suites xn et yn aient des éléments communs tendant vers ta limite.
a oui zut c'est pas correcte
J'ai fait autre chose:
soit
on a doncet
donc
on a montrer ci-dessus que pour
