polynome,euclidien...

[invite99706724]

Bonjour à tous,
je me tord la tête la dessus j'ai besoin d'aide...

Soit E = R[X] l'espace des polynômes, muni du produit scalaire défini par (P|Q)=P(t)Q(t)dt (l'intégrale est entre 0 et 1). Pour n € N , soit En le sous espace des polynomes de degré inférieur ou égal à n. On note qn la projection orthogonale sur En.

1. Soit n un entier 1. Montrer que Pn=X^n-q(n-1)(X^n) est l'unique polynome unitairede degré n orthogonal à En-1.
2.On pose P0=1. Calculer P1,P2,P3.
3.Montrer que (P0,P1,...,Pn) est une base orthogonale de En.
4.Montrer que pour tout entier n2, le polynome Pn-XPn-1 est combinaison linéaire de Pn-1 et Pn-2.(on pourra remarquer que (XP|Q)=(PX|Q) pour tous polynomes P et Q).
5.Soient ai,...,ak les racintes distinctes du polynome P dans [0;1]. Montrer qu'il existe un polynome Q € Ek tel que (P|Q)0. En déduire que Pn à n racines distinctes dans [0;1].

Merci d'avance de votre aide je n'arrive meme pas a demarer ...
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[invite99706724]

(P|Q) different de 0.

Désolé petite faute de frappe...

Merci encore de votre aide future

[inviteaf1870ed]

Pour commencer tu prends un polynome Q dans En-1, et tu calcules le produit scalaire (Pn|Q). Normalement ce ne devrait pas être trop difficile de voir qu'il est nul.
Ensuite tu peux utiliser un argument de dimension en te plaçant dans En, je pense.

[invite99706724]

ouais d'accord c'est ce que j'ai fais pour le premier et je trouve que du coup (P|Q)=(X^n|Q)-(q(n-1)(X^n)|Q) e je sais que ca c'est la définition de la projection orthogonale mais je n'arrive pas vraiment a exprimer pourquoi c'est nul???
Pour l'unicité c'est bon j'ai compris merci beaucoup.

Pour la deuxieme question je trouve que P1 = X - 1/2 mais apres pour faire P2 je dois prendre une Base de E1 et cherche a l'orthogonalisé avec gram schmidt c'est ca ? e apres je fai la projection?

Pour la 3 j'ai trouvé... C'est une récurrence j'ai compris...(une recurrence en utilisant la 2 pour l'initialisation et la 1 pr l'hérédité...

Par contre la 4 je suis totalement bloqué...

Encore un peu d'aide s'il vous plait ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaf1870ed]

Pour la 1/ tu écris que tout polynôme Pn(X) de En s'écrit sous la forme R+q_(n-1)(Pn) où q_(n-1)est la projection orthogonale de Pn sur En-1, et donc R est orthogonal à tout vecteur de En-1.
Je te laisse finir.

Pour la suite, je pense que si tu regardes la question 3, tu auras une idée de base orthogonale pour En

[invite99706724]

ben oui mais je ne peux pas utiliser la question 3 sans avoir fait la question 2???? il faut que je le fasse dans lotre je me doute que PO, ... , Pn est une base orthogonale mais le probleme cest que je dois les calculer la je ne peux pas faire autrement !!!et je n'y arrive pas trop à calculer ... je m'embrouille ...

Comment je pourrais faire pour la 4 ??

(parce que la je crois que je vais devenir fou ...ca fai deux jours que je rame ...)

Merci encore de votre aide ...