polynome,euclidien...
Répondre à la discussion
Affichage des résultats 1 à 6 sur 6

polynome,euclidien...



  1. #1
    invite99706724

    polynome,euclidien...


    ------

    Bonjour à tous,
    je me tord la tête la dessus j'ai besoin d'aide...

    Soit E = R[X] l'espace des polynômes, muni du produit scalaire défini par (P|Q)=P(t)Q(t)dt (l'intégrale est entre 0 et 1). Pour n € N , soit En le sous espace des polynomes de degré inférieur ou égal à n. On note qn la projection orthogonale sur En.

    1. Soit n un entier 1. Montrer que Pn=X^n-q(n-1)(X^n) est l'unique polynome unitairede degré n orthogonal à En-1.
    2.On pose P0=1. Calculer P1,P2,P3.
    3.Montrer que (P0,P1,...,Pn) est une base orthogonale de En.
    4.Montrer que pour tout entier n2, le polynome Pn-XPn-1 est combinaison linéaire de Pn-1 et Pn-2.(on pourra remarquer que (XP|Q)=(PX|Q) pour tous polynomes P et Q).
    5.Soient ai,...,ak les racintes distinctes du polynome P dans [0;1]. Montrer qu'il existe un polynome Q € Ek tel que (P|Q)0. En déduire que Pn à n racines distinctes dans [0;1].

    Merci d'avance de votre aide je n'arrive meme pas a demarer ...

    -----

  2. #2
    invite99706724

    Re : polynome,euclidien...

    Citation Envoyé par jrouik Voir le message
    (P|Q) different de 0.
    Désolé petite faute de frappe...

    Merci encore de votre aide future

  3. #3
    inviteaf1870ed

    Re : polynome,euclidien...

    Pour commencer tu prends un polynome Q dans En-1, et tu calcules le produit scalaire (Pn|Q). Normalement ce ne devrait pas être trop difficile de voir qu'il est nul.
    Ensuite tu peux utiliser un argument de dimension en te plaçant dans En, je pense.

  4. #4
    invite99706724

    Re : polynome,euclidien...

    ouais d'accord c'est ce que j'ai fais pour le premier et je trouve que du coup (P|Q)=(X^n|Q)-(q(n-1)(X^n)|Q) e je sais que ca c'est la définition de la projection orthogonale mais je n'arrive pas vraiment a exprimer pourquoi c'est nul???
    Pour l'unicité c'est bon j'ai compris merci beaucoup.

    Pour la deuxieme question je trouve que P1 = X - 1/2 mais apres pour faire P2 je dois prendre une Base de E1 et cherche a l'orthogonalisé avec gram schmidt c'est ca ? e apres je fai la projection?

    Pour la 3 j'ai trouvé... C'est une récurrence j'ai compris...(une recurrence en utilisant la 2 pour l'initialisation et la 1 pr l'hérédité...

    Par contre la 4 je suis totalement bloqué...

    Encore un peu d'aide s'il vous plait ...

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    inviteaf1870ed

    Re : polynome,euclidien...

    Pour la 1/ tu écris que tout polynôme Pn(X) de En s'écrit sous la forme R+q(n-1)(Pn) où q(n-1)est la projection orthogonale de Pn sur En-1, et donc R est orthogonal à tout vecteur de En-1.
    Je te laisse finir.

    Pour la suite, je pense que si tu regardes la question 3, tu auras une idée de base orthogonale pour En

  7. #6
    invite99706724

    Re : polynome,euclidien...

    ben oui mais je ne peux pas utiliser la question 3 sans avoir fait la question 2???? il faut que je le fasse dans lotre je me doute que PO, ... , Pn est une base orthogonale mais le probleme cest que je dois les calculer la je ne peux pas faire autrement !!!et je n'y arrive pas trop à calculer ... je m'embrouille ...

    Comment je pourrais faire pour la 4 ??

    (parce que la je crois que je vais devenir fou ...ca fai deux jours que je rame ...)

    Merci encore de votre aide ...

Discussions similaires

  1. Anneau euclidien
    Par invitebb921944 dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 6
    Dernier message: 25/11/2007, 15h02
  2. anneau euclidien
    Par invite5c6c2cbf dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 1
    Dernier message: 18/10/2007, 16h22
  3. polynome, m paramètre , différentes valeurs degré du polynome
    Par invited7a80298 dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 8
    Dernier message: 15/10/2007, 18h54
  4. espace euclidien
    Par invite0559109a dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 3
    Dernier message: 06/05/2006, 17h59
  5. modèle euclidien
    Par invitefef87329 dans le forum Archives
    Réponses: 2
    Dernier message: 27/11/2004, 00h13