f(x²)=f(x) => f constante

[Quaetrix]

Bonjour à tous, actuellement en BCPST je dois résoudre ce problème;

-Soit f une fonction de R dans R continue en 0 et en 1 telle que:
-f(x²)=f(x)

Démontrez que f est constante.

Graphiquement je comprend que f soit constante mais je n'arrive pas à le prouver. Or je suis sûr que la solution est relativement simple, mais je bloque, au secours :/
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[God's Breath]

Bonjour,

La méthode pour ce genre d'exercices est de fabriquer une suite telle que la suite soit constante, donc convergente vers son premier terme . Si converge vers et que est continue en , alors converge vers .
Par unicité de la limite, on a donc .

Dans ton cas, pour obtenir , il faut avoir défini une suite telle que ou : il faut voir ce qui est le plus intéressant pour le calcul.

[Médiat]

il faut voir ce qui est le plus intéressant pour le calcul.

Sans doute les deux (suivant que 0<x<1 ou 1<x).

PS : ne pas oublier que la fonction est paire.

[Quaetrix]

Merci je n'avais pas du tout pensé à démarrer ainsi.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5deae7f6]

Ce post est relativement ancien, mais au cas où, je suis en Matsh-spé, j'ai un exo de maths presque identique, en voici l'énoncé complet:

-Trouvez une fonction non constant f telle que f(x²)=f(x) pour tout x
-Montrez qu'il n'existe pas de solution a ce problème continue en 0 et en 1

Ce qui, pour moi sous entend qu'il y'a des solutions non continues en 0 et en 1, mais qu'il y a des solutions, mais d'après quelques courbes tracées a la main pour clarifier le problèmes, ce ne sont pas du tout des fonctions "simples"

[Garf]

Il y a plusieurs façons de faire :

* Façon simple (mais un peu simpliste) : on remarque que est une bijection sur ]0,1[, sur ]1,+[, sur {0} et sur {1}. Par conséquent, n'importe quelle fonction constante sur chacun de ces quatre ensembles vérifie la propriété souhaitée ; il n'est pas difficile de trouver une telle fonction qui ne soit pas constante sur tout entier.

* Façon plus compliquée (mais qui a l'avantage de faire voir quelles sont toutes les fonctions qui vérifient cette propriété) : on se donne une fonction de dans . N'importe quelle fonction, aussi moche soit-elle. Je te laisse chercher comment en déduire une fonction satisfaisant . A titre d'exercice, toujours, vérifier qu'il existe une bijection "naturelle" entre [TEX]\mathcal{F}(\{0\} cup \{1\} \cup [1/4,1/2) \cup [2,4),\mathbb{R})[\TEX] et les fonctions (non nécessairement continues) satisfaisant .

[invite5deae7f6]

J'avais commencé a dissocier les intervalles, comme dans la première façon, je vais essayer de trouver une fonction non constante

Merci =)