sommes de Riemann

[invitea28e5912]

Bonjour,

j'ai un exercice faire et je suis bloquée, je n'arrive pas à le faire

énoncé : Montrer que les suites (Un)neN* suivantes sont des sommes de Riemann. Pour chacune d'elles, on précisera la fonction f et l'intervalle [a,b] concernes ainsi que la subdivision o et la famille de points X utilisées, puis on déterminera sa limite

1°)Un=somme(1/(n+k))
de k=1 à n

2°)Un=somme(1/(racine(n²+k²)))
de k=1 à n

3°)Un=1/n² x somme(racine(k(n-k)))
de k=1 à n

4°)Un=1/n x somme(((3k+2)/(3n))²)
de k=0 à n-1


J'aimerai que l'on montre quoi faire pour le premier pour que je puisse faire les autres

merci d'avance pour votre aide
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[invite57a1e779]

Bonjour,

Pour mettre en évidence une somme de Riemann, il faut écrire en fonction de , par exemple :

.
On introduit la fonction définie par , et on reconnaît en une somme de Riemann de sur pour une subdivision de pas .

[invitea28e5912]

pour le 1°) la limite c'est lim 1/n x somme(f(i)) = integrale ( f(x))dx
n infini de i=0 à 1 de 0 à 1

2°) Un= somme((1)/(racine(n²(1+(k²)
de k=1 à n
/(n²)))) = somme((1)/(n x racine(1 + (k²)
de k=1 à n
/(n²)))) = 1/n x somme((1)/(racine(1+((k²)
de k=1 à n
/(n²))))

on introduit f(x)=1/racine de (1+x^2)
Un1/n x somme(f(k/n) une somme de Riemann de f sur [0,1] pour une subdivision de pas 1/n

la limite c'est lim 1/n x somme(f(i)) = integrale ( f(x))dx
n infini de i=0 à 1 de 0 à 1


est-ce que pour les 1°) et 2°) ce sont les reponses attendues ?

Merci pour votre aide

[invite57a1e779]

Pour ce que je comprends de la réponse, c'est effectivement la réponse attendue.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea28e5912]

3°)Un=1/n x somme (racine kn -k²)
de k=1 à n

= 1/n x somme (racine(k(n²(1-((k)/(n²))))))
de k=1 à n

=1/n x somme (n x racine(k(1-((k)/(n²))))
de k=1 à n

=somme(racine(k(1-((k)/(n²)))))
de k=1 à n

=somme (racine(k - ((k²)/(n²))))
de k = 1 à n

On introduit f(x)=racine(xn - x²) pour une subdivision de pas 1

pour l'intervalle je vois pas


pour le 4°) je vois pas

[invite57a1e779]

Alors la, ça devient carrément illisible...

Le 3 : et il suffit de tout mettre dans la racine carrée.

Le 4 : , et on calcule séparément la limite de chacune des trois sommes obtenues.

[Minialoe67]

Bonjour,

Pour mettre en évidence une somme de Riemann, il faut écrire en fonction de , par exemple :

.
On introduit la fonction définie par , et on reconnaît en une somme de Riemann de sur pour une subdivision de pas .

Bonjour!
Je fais remonter cet ancien topic car je me pose des questions en vous lisant.
Quand vous dites qu'on reconnait une somme de Riemann sur [0,1], comment savez vous cela? comment le déduisez vous que c'est sur [0,1]?
La subdivision, vous la déduisez du 1/n devant le signe somme ou de (k/n) ?

[Minialoe67]

1/n Σ_(k:1=>n) sin(k∏/2n)
Pourquoi le résultat est ∏/2 et non pas 1?

Je fais 1/n Σ_(k:1=>n) f(k/n) = intégrale de 0 à ∏/2 de sinxdx = [-cos x]₀^∏/2=1 mais ça doit être faux. pourquoi?

[albanxiii]

Bonjour,

Quand vous dites qu'on reconnait une somme de Riemann sur [0,1], comment savez vous cela? comment le déduisez vous que c'est sur [0,1]?

k/n varie entre quoi et quoi ?

1/n Σ_(k:1=>n) sin(k∏/2n)
Pourquoi le résultat est ∏/2 et non pas 1?

Je fais 1/n Σ_(k:1=>n) f(k/n) = intégrale de 0 à ∏/2 de sinxdx = [-cos x]₀^∏/2=1 mais ça doit être faux. pourquoi?

Non, c'est , si j'ai bien décodé, et cela vaut . Même raisonnement que précédemment.

Si cela ne vous parle vraiment pas, cherchez sur le net et lisez un cours sur le sujet.

@+

[Minialoe67]

ok j'ai compris