Problème pour réaliser une récurrence

[invitea43eb528]

Bonjour, j'ai un souci pour prouver une relation par récurrence. :

On a une application Delta qui pas de P dans P (ensemble des fonctions polynomiales allant de R dans R) définie lorsque p appartient à P par la relation :
quelquesoit x appartenant à R : delta(p)(x)=p(x+1)-p(x)

Nous avons une suite Nn définie par : N0=1, quelquesoit n appartenant à N*, delta(Nn)=Nn-1 et Nn(0)=0.

On doit démontrer que Nn(x)=1/n! * Produit de k=0 jusqu'à n-1 des (x-k)

Le souci, c'est que si l'on suppose Nn vraie, pour démontrer Nn+1 on y arrive pas puisque qu'on a aucune relation entre Nn+1(x+1) et Nn+1(x).

Si quelqu'un pouvait m'aider, Merci.

PS : pour le sujet (au cas où vous ne comprenez pas tout) voici le lien : http://aphec.it-sudparis.eu/concours...c_2008_S_1.pdf
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[invite57a1e779]

delta(p)(x)=p(x+1)-p(x)

Nous avons une suite Nn définie par : N0=1, quelquesoit n appartenant à N*, delta(Nn)=Nn-1 et Nn(0)=0.

On doit démontrer que Nn(x)=1/n! * Produit de k=0 jusqu'à n-1 des (x-k)

Il suffit de vérifier que, si , alors satisfait et .

[invitea43eb528]

D'accord, ben je vais voir ça de suite .

Merci beaucoup.

D'ailleurs, j'ai un autre souci dans ce problème, comment on peut déterminer les fonctions polynomiales P vérifiant la relation quelquesoit x appartenant à R, P(x+1)-P(x)=Q(x), sachant que Q= somme de n=0 jusqu'à + l'infinie de (delta^n)(Q)(0)Nn ?

[invite57a1e779]

Il suffit de dire que , avec

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea43eb528]

Il suffit de dire que , avec

Euh, je ne vois pas en quoi on arrive à déterminer nos fonctions polynomiales...

[invite57a1e779]

Parce que .

[invitea43eb528]

Merci beaucoup pour ton aide.

Bonne soirée.