[ Maths ] Formule de binôme négatif

[inviteb64a2f8e]

Bonjour à tous !

Voilà on a vu le binôme de Newton en cours au début de l'année, et maintenant l'on s'intéresse au binôme négatif.
J'ai quelques petites pistes mais je ne sais pas si elles sont exactes ou non.
Voilà l'énoncé :

Soit un entier naturel et un élément de [0;1[. On pose et on s'intéresse à la série


1) Montrer qu'à partir d'un certain rang , on a

2) En déduire une majoration de pour , puis que la série est convergente. On pose alors

3) Déterminer ,

4) Montrer que pour ,

5) En déduire l'expression de en fonction de .
Montrer alors que , ,


Voilà, j'ai répondu à quelques questions mais je vous serais reconnaissant si vous pouviez me donner quelques pistes.

Merci beaucoup!

ZimbAbwé
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[invited5b2473a]

Voilà quelques indications

1) Tu te sers du fait que u_n+1=u_nx/(1-r/(n+1)).
2) La majoration est donc de la forme u_n<=aⁿu₀. Que vaut a? Et pour la convergence, utilise le fait que U_n>=0.
3) s₀(x)=somme géométrique.
s₁(x)/x = dérivée d'une somme géométrique.

4) Y a qu'à écrire (tu utilises une relation entre Cnr et Cn(r+1) ).
5) s_r est donc une suite géométrique

[inviteb64a2f8e]

Bonjour !

Merci pour ta réponse indian58 et désolé de pas avoir pu répondre avant :S
Il y a quelques points où je ne te suis pas trop, tu pourrais m'expliquer rapidement si ça ne te dérange pas ?

¤) Voilà, pour la 1) je trouve :

alors que toi tu trouves

Je n'arrive pas à comprendre comment on peut arriver a ton résultat. Et surtout, une fois ce résultat obtenu, comment puis-je m'en servir pour démontrer ?

Je pensais qu'on aurait et donc que car . Or, ne tend pas vers visiblement.
Donc là je suis un peu perdu...

¤) Pour la 2), je pensais faire une itération pour avoir ?

¤) Pour la 5), je dois utiliser l'expression de que j'ai trouvé pour montrer l'égalité suivante je suppose ?

Merci beaucoup !

ZimbAbwé.

[invited5b2473a]

1) non, j'obtiens Un+1 = Un * x/(1-r/(n+1)) = Un *x(n+1)/(n+1-r) comme toi! Ensuite à toi de montrer qu'à partir d'un certain rang, x(n+1)/(n+1-r) <= (1+x)/2.

2) Ouai grosso modo c'est ça

5) oui

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb64a2f8e]

Ah oui d'accord j'avais mal compris ton expression désolé.

Est-ce pour démontrer que j'ai le droit de montrer que et donc que car et en utilisant la définition avec ?

Merci !

[invited5b2473a]

oui car on te demande de prouver l'inégalité qu'à partir d'un certain rang et donc à partir d'un tel rang, Un+1/Un est proche de x à moins d'epsilon, et pour epsilon suffisamment petit (tel que x+epsilon <1, x+epsilon<=(1+x)/2, car x<1.

[inviteb64a2f8e]

D 'accord, merci beaucoup c'est bon j'ai fait les questions 3 permières questions.
Mais je ne vois pas pourquoi la relation à démontrer dans la question 4 est évidente ?

J'ai essayé de partir de ou de et je ne vois pas vraiment comment trouver la relation.
Je sais que d'après la formule de Pascal mais je ne vois pas comment on peut récupérer le en facteur

Merci de ton aide !

[inviteb64a2f8e]

On peut utiliser une récurrence sur non ?

[inviteaf1870ed]

Pas besoin de récurrence , tu dois utiliser la formule d'addition des Cn,p : Cn,p + Cn,p+1 = Cn+1,p+1
et tu pars du membre de droite de ton égalité (une ruse classique...) :
xSr(x)+xSr+1(x)=...en regroupant les termes en x de même puissance.

[inviteb64a2f8e]

J'ai essayé de partir de mais je n'arrive pas à retomber sur :S
Il faut faire un changement d'indice ? Parce que je ne vois pas comment en partant de deux , on peut retomber sur un ...
Désolé :S

[inviteaf1870ed]

xSr(x) démarre à x^r+1, comme Sr+1(x), pas de problème de ce côté là.
Pour bien comprendre écris tes somme sous la forme ()x^r+()x^r+1+....+()x^n et regroupe les termes en x qui ont la même puissance.

[inviteb64a2f8e]

D'accord c'est bon j'ai réussi, et le reste de l'exercice avec !

Merci beaucoup à tous !

ZimbAbwé