question ouverte dans la théorie des extentions

[anouar437]

on sait que pi et e sont non algébrique dans Q
la question c'est: est ce que ya d'autre élément non algébrique ??
autrement
peut on trouver autre élément transcendant que pi et e ??
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[God's Breath]

on sait que pi et e sont non algébrique dans Q
la question c'est: est ce que ya d'autre élément non algébrique ??
autrement
peut on trouver autre élément transcendant que pi et e ??

Oui, par exemple Alexandre Ossipovitch Gelfond a donné, en 1934, la solution du septième problème de Hilbert, « si et sont des nombres algébriques (avec et ), et si n'est pas un nombre réel rationnel, alors le nombre est transcendant » (théorème de Gelfond-Schneider), qu'il avait résolu dans un cas particulier dès 1929, alors qu'il était encore étudiant.

Les premiers nombres transcendants ont été exhibés par Liouville en 1844.

[anouar437]

merci je savais pa k'il ya d'autre nombre transcendant merci bcp
si j'ai bien compris d'après Alexandre Ossipovitch Gelfond on a 2 puissance racine(3) est transcendant ??

[God's Breath]

merci je savais pa k'il ya d'autre nombre transcendant merci bcp
si j'ai bien compris d'après Alexandre Ossipovitch Gelfond on a 2 puissance racine(3) est transcendant ??

Oui, et beaucoup d'autres...
Une recherche sur internet devrait te donner des résultats sur les nombres transcendants.

[A voir en vidéo sur Futura]

[anouar437]

merci ok je vais chercher mnt sur net

[anouar437]

tjrs je parle de nombre réel transcendant sur Q

[invitebe0cd90e]

God's breath t'a donné des exemples concrets et repond donc a ta question "peut on en trouver". Si tu voulais savoir s'il existait beaucoup de nombre transcendant, tu peux voir assez facilement que l'ensemble des nombres algébriques est dénombrable (en gros parce qu'il est de meme cardinal que l'ensemble des polynomes). Or l'ensemble des reels est non denombrables, donc en realité presque tous les reels sont transcendant.

[anouar437]

merci jobherzt et God's breath
alors peut on programmer une algorithme pour savoir qu'un nombre est trancendant ou non ??? et si le nombre est algébrique donné son polynomme minimal ??

[Médiat]

alors peut on programmer une algorithme pour savoir qu'un nombre est trancendant ou non ??? et si le nombre est algébrique donné son polynomme minimal ??

Comment donnes-tu (définis-tu) le nombre à analyser ?

[invitebe0cd90e]

Non :

- en general, il est tres difficile de prouver qu'un nombre est transcendant.
- comme le sous entend mediat, comme un nombre transcedant est en particulier irrationnel, ce sont generalement des nombres difficile a "connaitre" ou a representer. Par exemple, a ma connaisance on est loin de savoir si toutes les valeurs de la fonction zeta de Riemann prise en les entiers impaires sont transcendantes.

[anouar437]

peut étre sera possible un jour
bon maintenant si on sait d'avance que le nombre est algébrique dans ce cas la on peut programmer l'agorithme qui donne le polynome minimal ??
ya par exemple la méthode de conjugué

[invitebe0cd90e]

peut étre sera possible un jour
bon maintenant si on sait d'avance que le nombre est algébrique dans ce cas la on peut programmer l'agorithme qui donne le polynome minimal ??
ya par exemple la méthode de conjugué

Comment sait on d'avance que le nombre est algebrique ? ET la meme question se pose : un nombre peut etre "connu" d'une infinité de maniere differente, certaine absolument non explicite, comment veux tu trouver un algo qui s'applquent a tous ces cas ?

La seule reponse partielle a ma connaissance : si tu connais le developpement decimal de ton nombre avec une bonne precision, tu peux parfois retrouver le polynome minimal grace a l'algo LLL, mais ca ne marche pas toujours, loin de la !

[anouar437]

merci svp c quoi l'algo de LLL je connais pas

[invitebe0cd90e]

En tres gros c'est un algorithme du meme genre que celui de Gram-Schmidt, mais appliqué aux reseaux. En moins gros il donne en temps poylnomiale une "petite" base "presque orthonormale" d'un reseau donné. Il est utilisé en factorisation des polynomes, en cryptographie, etc.. On peut aussi s'en servir pour trouver de petites fractions qui ont un developpement decimal proche de celui d'un nombre donné, avec une precision donnée (par exemple 22/7 pour Pi).