problème mathématique , question ouverte

[invitee8053d9d]

Bonjour, j'aimerais de l'aide pour un exercice assez ouvert. Je suis bloqué dans la méthode que j'utilise. Voici l'énoncé :

on constate que 2^4 = 4^2 ( j'utilise ^ pour les puissances). Existe-t-il d'autres entiers naturels non nuls tels que n^p = p^n ?

En utilisant la fonction Ln, j'essaye de trouver une interprétation graphique :

on a : n^p = p^n
soit : Ln(n^p) = Ln(p^n)
soit : p.Ln(n) = n.Ln(p)
soit : Ln(n)/n = Ln(p)/p

C'est à dire qu'il existerait un point N(n;Ln(n)) tel que la droite linéaire qui passe par ce point coupe aussi la courbe représentative de Ln en un point P(p;Ln(p)).
Cette droite a pour équation : y = (Ln(n)/n).x

Voilà, j'ai cette interprétation mais maintenant je tourne en rond. Je ne vois pas ce que je peux en faire. J'attends vos idées avec impatience.
Merci.
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[invité576543]

soit : Ln(n)/n = Ln(p)/p

C'est à dire qu'il existerait un point N(n;Ln(n)) tel que la droite linéaire qui passe par ce point coupe aussi la courbe représentative de Ln en un point P(p;Ln(p)).
Cette droite a pour équation : y = (Ln(n)/n).x

Bonsoir,

La piste est bonne, mais...

Il y a une interprétation plus simple (il me semble) de l'égalité ln(n)/n = ln(p)/p.

Plus généralement comment interprète-t-on graphiquement f(x)=f(y) pour une fonction f donnée?

Ensuite, dessine la fonction f(x)=ln(x)/x, pour x>1, indique en particulier les points (2, f(2)) et (4,f(4)) sur la courbe. Que peut-on en conclure?

Cordialement,

[invitee8053d9d]

Généralement, quand f(x)=f(y) pour une fonction f donnée, c'est qu'il existe une droitre horizonale qui coupe la courbe représentative Cf de f aux points A(x;f(x)) et B(y;f(y)).

Effectivement, en posant f(x) = Ln(x)/x, l'interprétation graphique me semble plus simple.
J'ai donc dessiné la fonction f(x)=ln(x)/x et je constate que f(2) = f(4), c'est à dire 2^4 = 4^2.

Seulement, si je vois bien qu'il existe d'autres droites horizontales coupant Cf en deux points A(a;f(a)) et B(b;f(b)), donc f(a)=f(b) mais je ne vois pas comment prouver que a et b sont des entiers naturels.

Je réfléchis en écrivant, et, graphiquement, il me semble que f est décroissante pour x>3 et que la limite de f en +l'infini soit 0.
Or f(1)=0 donc la droite y=0 ne coupe Cf qu'une fois.
f(2)=f(4) ; 2 et 4 sont solutions de mon problème.
A partir de x=3, les droites horizontales coupant Cf la coupent en 2 points A(a;f(a)) et B(b;f(b)) mais avec 1<a<3 et 3<b.
Or 2 est le seul entier naturel compris entre 1 et 3, donc la seule valeur que peut prendre a pour répondre au problème.

Donc 2 et 4 sont les seules solutions du problème.

Voilà, mon explication n'est peut être pas trés claire, mais je pense que c'est correct, reste à le démontrer plus rigoureusement.

En tout cas merci beaucoup pour l'aide et si quelqu'un à des remarques, il peut m'en faire part. Merci encore.

[invite9c9b9968]

Hello lelycéen,

Rien à dire ton explication est parfaite, bravo

Si tu veux rendre ça encore plus rigoureux, tu peux faire un tableau de variation de ta fonction (qui confirmera ce que tu as vu graphiquement bien entendu )

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite333fc200]

Alors que je voulais déguster certaines questions ouvertes en recherchant sur google, voilà que je tombe sur ce sujet qui a fait travailler mes méninges plus de 3h.

En effet, j'ai commencé par une méthode qui aboutit mais qui nécessite au moins 2h tellement elle est longue (elle consiste à dériver des fonctions en fixant à chaque fois un paramètre, y par exemple).

Et puis tout à coup, je trouve plus simple. C'est parti ^^

(J'ai volontairement remplacé n et p par x et y, je me sens mieux ^^)


Supposons , alors , alors avec k réel ,
Soit
Soit
Soit
Soit

Posons


Or pour que x et y soient des entiers, il faut que t=1. D'où x=2 et y=4.
Inversement, si on suppose que x>y, on trouve x=4 et y=2.

Postez ici d'autres problèmes ouverts si vous en avez (pas trop durs quand même), et celui qui y répond choisira à son tour un problème ouvert.

J'en commence donc par un très simple: Quel est le plus grand de ces 2 nombres: ou

A vous.

[invite333fc200]

Sacré Latex^^




Supposons , alors , alors avec k réel ,
Soit
Soit
Soit
Soit

Posons


Or pour que x et y soient des entiers, il faut que t=1. D'où x=2 et y=4.
Inversement, si on suppose que x>y, on trouve x=4 et y=2.

Bien, je vous donne la main ^^

PS: désolé, cmt on fait en latex pour mettre x^(1+k) par exemple?
Lisez les parenthéses ou crochets bizarres décalées vers le haut, comme ^( ou ^[

[invite57a1e779]

J'en commence donc par un très simple: Quel est le plus grand de ces 2 nombres: ou

Comme a pour dérivée , la fonction est strictement décroissante sur .
Comme , on en déduit , d'où , et finalement .

PS : Avec TEX, lorsque l'on veut mettre plusieurs caractères en exposant, il faut délimiter l'exposant par des accolades : x^{1+k} pour obtenir

[invité576543]

Annulé... doublon... faudrait que les lisent les messages jusqu'au bout...

[invité576543]

Or pour que x et y soient des entiers, il faut que t=1.

Pourquoi? Si x et y entiers, on peut dire k=(y-x)/x rationnel,
et donc t = 1/kx =1/(y-x) rationnel. Mais pourquoi 1?

(Par ailleurs, si je remplace t par 1, j'ai 1/k=tx=2² selon la dernière ligne, non?)

Cordialement,

[invite333fc200]

Merci pour l'indication en Latex God's Beath. J'ai pensé aux parenthèse puis aux crochets, mais pas aux accolades ^^




Supposons , alors , alors avec k réel ,
Soit
Soit
Soit
Soit

Posons


Or pour que x et y soient des entiers, il faut que t=1. D'où x=2 et y=4.
Inversement, si on suppose que x>y, on trouve x=4 et y=2.

Comme réponse à Michel:
on a Si on veut que x soit entier, alors est un entier forcément. Or ne peut-être entier que pour t=1. Démonstration par l'absurde: Supposons que t#1, alors 1/t non entier naturel, et non entier naturel, donc non plus. Donc x n'est pas entier naturel: Contradiction car d'après l'énoncé, x est entier naturel.

D'après le raisonnement par l'absurde, t=1.

[invite333fc200]

Sinon Michel, pour la dernière ligne, je viens de me rendre compte que j'ai mal codé en Latex. Je ne peux pas éditer, car apparemment, l'administrateur ne le permet pas après 5min.

Donc bon, démonstration finale (je l'espère^^)





Supposons , alors , alors avec k réel ,
Soit
Soit
Soit
Soit

Posons




Or pour que x et y soient des entiers, il faut que t=1. D'où x=2 et y=4.
Inversement, si on suppose que x>y, on trouve x=4 et y=2.

[invité576543]

Démonstration par l'absurde: Supposons que t#1, alors 1/t non entier naturel, et non entier naturel, donc non plus.

Si on interprète le "donc" comme "si x et y ne sont pas des entiers naturels alors x^y n'est pas un entier naturel", c'est faux: est bien un entier naturel alors que ni ni 2/3 le sont!

(Je ne dis pas que la démo est incorrecte, juste qu'il y a un passage insuffisamment argumenté.)

Cordialement,

[invite333fc200]

Comme a pour dérivée , la fonction est strictement décroissante sur .
Comme , on en déduit , d'où , et finalement .

PS : Avec TEX, lorsque l'on veut mettre plusieurs caractères en exposant, il faut délimiter l'exposant par des accolades : x^{1+k} pour obtenir

Bien joué. Petite erreur quand même: f est strictement décroissante sur . Car il faut que , soit , soit .

Mais c'est pas grave. A toi de poser une question ouverte.

Chacun peut participer, même s'il trouve pas la solution.

[invite333fc200]

Si on interprète le "donc" comme "si x et y ne sont pas des entiers naturels alors x^y n'est pas un entier naturel", c'est faux: est bien un entier naturel alors que ni ni 2/3 le sont!
(Je ne dis pas que la démo est incorrecte, juste qu'il y a un passage insuffisamment argumenté.)
Cordialement,

Généralement, dans les concours générales, on s'en passe bien des justifications trop approfondies. On veut juste voir si l'élève a trouvé la méthode ou pas (c'est ce que m'a dit mon professeur de maths.)

Ceci dit, on peut aisément justifier ce fait. On chercher pour quelle valeur de t on a avec N entier naturel. Pour cela, on étudie la fonction . En transformant sous écriture exponentielle et en dérivant 2 fois par rapport à t (N étant un paramètre), on trouve qu'elle est strictement croissante.

Sa limite en 0 est inférieur à 0, sa limite en +inf est supérieur à 0. f est continue et strictement croissante, donc le théorème des valeurs intermédiaires permet d'affirmer que f(t)=0 admet une unique solution avec t>0. Soit il existe un unique t tel que

Or avec t=1, on sait que (1+1/1)^1= 2. Donc l'unique t pour lequel (1+1/t) est un entier est t=1.

Merci Michel. Je reconnais que la démonstration de ce dernier point n'était pas si trivial (quoique elle est simple).

[invite57a1e779]

Bien joué. Petite erreur quand même: f est strictement décroissante sur . Car il faut que , soit , soit .

Hélas, c'est toi qui te trompes : si sur l'intervalle ouvert , alors est strictement décroissante sur l'intervalle fermé .

[invite57a1e779]

Sa limite en 0 est inférieur à 0, sa limite en +inf est supérieur à 0.

Tu ferais mieux de recalculer tes limites, ce que tu dis est faux

f est continue et strictement croissante, donc le théorème des valeurs intermédiaires permet d'affirmer que f(t)=0 admet une unique solution avec t>0. Soit il existe un unique t tel que

Mais rien ne permet de savoir si ce t, unique, est entier ou non.

Or avec t=1, on sait que (1+1/1)^1= 2. Donc l'unique t pour lequel (1+1/t) est un entier est t=1.

Merci Michel. Je reconnais que la démonstration de ce dernier point n'était pas si trivial (quoique elle est simple).

Tu constates que t=1 convient pour N=2, mais tu ne montres pas que c'est le seul cas où l'on ait simultanément N et t entier.

Tu n'as donc toujours rien prouvé.

[invite333fc200]

Hélas, c'est toi qui te trompes : si sur l'intervalle ouvert , alors est strictement décroissante sur l'intervalle fermé .

Tu dis que la fonction est strictement décroissante sur . C'est faux, puisqu'elle n'est pas décroissante sur (je t'invite à aller même vérifier sur la calculatrice).

Tu ferais mieux de recalculer tes limites, ce que tu dis est faux

Exact. J'ai fait de petites erreurs. Je crois que ça va être légèrement plus complexe.





Or
Donc
Donc
Donc
Donc
Donc
Donc

D'autre part:
(pour le calcul de cette limite, posez 1/t=k et utilisez la formule de la dérivée)

Pour f(t)=0 admet une solution, il faut obligatoirement que
C'est à dire, il faut que
Soit

Donc
Or par hypothèse, N est un entier naturel.
Donc N=2.

Donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique réel t tel que f(t) = 0 avec N=2 (seule valeur possible de l'entier N).

Or pour t=1, N=2. Comme t est unique, les seules valeurs possibles de t et de N tel que f(t) = 0 sont respectivement 1 et 2.

J'espère que c'est plus rigoureux cette fois çi.

Merci God's Breath et Michel pour vos interventions. Si ça manque encore de rigueur, n'hésitez pas à me le dire.

[invite1237a629]

Salut,

Pour le e chuis d'accord, ça paraît bizarre aussi.

Sinon, que l'intervalle soit ouvert ou fermé, comme l'a précisé God's Breath, ça n'a aucune espèce d'importance : une fonction strictement monotone sur ]e,+infini[ le sera sur [e,+infini[