Bonjour ,
Soit une matrice ( 2*2)
ligne 1: a et 0
Ligne 2 : b et a
On cherche les valeurs propres puis ensuite intervient ( dans mon exercice )
dim { ker ( A-aI) } = 1
La somme fait 1 car un seul vecteur l'engendre ( selon le corrigé )
Je ne comprends pas ce que l'on cherche a déterminer avec le ker et dim
Merci beaucoup pour vos reponses
Q'as-tu trouver comme valeurs propres?
Qu'est-ce que ker(A-aId)?
Qu'est-ce que la dimension d'un espace?
(b doit etre supposer non nul à quelque par non?)
( A - aI) ( x1 x2 ) = ( 0 0 )
soit bx1=0 -> x1=0 -> ( 0 1 )
Mais en fait , je ne comprends pas pourquoi dans le cas d'une recherche de vecteur propre et valeur propre , on cherche la ker et dim
Je ne vois pas ce que represente ker et dim
Dans un autre exercice , on a
R² espace vectoriel sur R
C² espace vectoriel sur C
2 valeurs proposes Lanbda1=lanbda+ et lanbda 2=lanbda-
et la , on annonce R²=ker(A-(lanbda-)*I)+ker(A-(lanbda+)*I)
dim R²=1 et dim des deux termes=1
Je ne comprends pas a quoi ca sert !?
Desolé d'etre confu , mais je ne comprends pas et la correction de l'exo est très confuse egalement
Merci de m'éclairer
On a fait une recherche de valeurs propres et de vecteurs propres de A, matrice représentative d'un endomorphisme u dans la base canonique.
On veut savoir si la matrice est diagonalisable, autrement dit si il existe une base de l'espace uniquement constituée de vecteurs propres de A.
Es-tu d'accord que ,exprimé dans une telle base, la matrice représentative de u est diagonal?
Bon alors comment savoir si c'est diagonalisable. En cherchant une telle base.
Lorsqu'on a trouvé les valeurs propres, on a cherché ensuite une base de chaque espace propre.
Siest une valeur propre , on appele espace propre associé à
On peut montrer que les espaces propres associé à des valeurs propres différentes sont en somme direct.
Cette somme direct est clairement inclus dans l'espace E tout entier.
En d'autre terme si on note
La matrice A est diagonalisable si et seulement si il y a égalité.
On a une inclusion , il suffit juste alors de vérifier les dimensions.
A est diagonalisable si et seulement si
Revenons maintenant à ton premier exercice.
Tu as trouvé une seul valeur propre a.
Tu a montrer que la dimension de l'espace propre associé à a est 1.
(La dimension d'un espace est le cardinal d'une base de cette espace qui est 1 ici)
Or dim(E)=2 (la matrice est une matrice 2*2)
et 1 est different de 2.
La matrice n'est donc pas diagonalisable.
Suis-je compréhensible?
Excellente explication
Merci beaucoup Antho07
