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calcul de matrice



  1. #1
    sothe2000

    calcul de matrice


    ------

    Bonjour à tous !

    Voici une matrice :

    ( 0----1---- 0 )
    ( -1-- -1-- -1 )
    ( -1--- 0-- -1 )

    j'ai commencé à calculer le pôlynome caractéristique :

    ( -X-----1----0 )
    ( -1----1-X---1 )
    ( -1----0----1-X )

    = -X [ (1+X)^2 +1 ] ce qui donnerait 0 comme valeur propre. mais 0 est valeur double ou triple ??

    Est ce que le résultat du pôlynome est correct ?

    Peut - on diagonaliser cette matrice ? avec Jordan ?

    merci pour votre aide !!

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    Coincoin

    Re : calcul de matrice

    Salut,
    Pour trouver toutes les valeurs propres, il faut te mettre dans C. Si le polynôme n'est pas scindé, ça ne marche.

    Calcule la dimension du noyau associé à chaque valeur propre pour savoir si c'est diagonalisable.
    Encore une victoire de Canard !

  4. #3
    sothe2000

    Re : calcul de matrice

    excuse moi mais je ne sais pas ce qu'est le noyau central. Il faut donc utiliser les complexes ?

    Et le résultat du polynome est correct ?


    je te remercie

  5. #4
    Scorp

    Re : calcul de matrice

    Citation Envoyé par sothe2000 Voir le message
    Bonjour à tous !

    Voici une matrice :

    ( 0----1---- 0 )
    ( -1-- -1-- -1 )
    ( -1--- 0-- -1 )

    j'ai commencé à calculer le pôlynome caractéristique :

    ( -X-----1----0 )
    ( -1----1-X---1 )
    ( -1----0----1-X )

    = -X [ (1+X)^2 +1 ] ce qui donnerait 0 comme valeur propre. mais 0 est valeur double ou triple ??

    Est ce que le résultat du pôlynome est correct ?

    Peut - on diagonaliser cette matrice ? avec Jordan ?

    merci pour votre aide !!
    Tu as calculé ton polynôme caractéristique, pourquoi ne pas t'en servir ? Tes valeurs propres sont éxactement les racines de ton polynôme caractéristique. En regardant ce polynôme, tu sais que tu obtiendra 0 comme valeur propre (normal vu que ta matrice de départ a 2 colonnes identiques) ainsi que deux valeur propres complexes conjuguées. Tu pourra a priori diagonliser ta matrice, mais uniquement dans C, pas dans R (mais il elle y est quand même "diagonale par bloc")

  6. #5
    chwebij

    Re : calcul de matrice

    en fait comme

    on a

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    PHENIXian

    Re : calcul de matrice

    Salut

    ce que coincoin essaie de te dire c'est que un polynome caracteristique admet bien N racines distinctes qui vont etre tes N valeurs propres de ta matrice. PAr contre ces valeurs propres peuvent etre complexes...Donc une matrice est diagonalisabe dans C

    Par contre si tu veux la diagonaliser dans R il faut calculer les dimensions de noyaux, cad pour chaque valeur propre calculer les solutions et regarder la dimension de chacun des espaces. Si leur somme est egale a la dimension de la matrice alors elle est diagonalisable...

    Dans ton cas ce polynome a 0 comme vp simple et deux valeurs propres complexes conjuguees.... donc ca parait mal barre
    Par contre un calcul rapide me donne comme polynome caracteristique (devt par rapport a la premiere colonne)


    Maple/Matlab/Mathematica/Ti te donne quoi ?
    "All your base are belong to us"
    OLFQJTLM

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  10. #7
    sothe2000

    Re : calcul de matrice

    Citation Envoyé par PHENIXian Voir le message
    Par contre un calcul rapide me donne comme polynome caracteristique (devt par rapport a la premiere colonne)

    excuse moi mais je retrouve bien - X [ (1+X)^2 +1 ]

    peut tu me détailler ton calcul ?

    merci beaucoup

  11. #8
    PHENIXian

    Re : calcul de matrice

    autant pour moi c'est la fatigue, de toute facon avec mon expression tu retrouvais meme pas la valeur propre 0
    "All your base are belong to us"
    OLFQJTLM

  12. #9
    sothe2000

    Re : calcul de matrice

    pour la valeur propre 0 je trouve le vecteur ( 1 , 0 , -1 ); c'était facile mais j'ai des problèmes pour trouver les vecteurs venant de valeurs propres complexes.

    exemple avec la valeur i :

    [ -i + y = 0
    [ - x + ( - 1 - i ) y - z = 0
    [ - x + ( - 1 - i ) z = 0

    ce qui donne

    [ y = i
    [ - x - y - i y - z =0
    [ - x - z - i z = 0

    Comment peut ton avoir des vecteurs propres avec ces expressions ???

    Merci pour votre aide !

  13. #10
    PHENIXian

    Re : calcul de matrice

    MM par contre avec ton polynome tes valeurs propres complexes sont ...
    "All your base are belong to us"
    OLFQJTLM

  14. #11
    sothe2000

    Re : calcul de matrice

    Citation Envoyé par PHENIXian Voir le message
    MM par contre avec ton polynome tes valeurs propres complexes sont ...
    je ne comprend pas ce que tu veux dire. Le polynôme est bien nul pour les valeurs i et - i ????

  15. #12
    PHENIXian

    Re : calcul de matrice

    ben...


    donc


    pour X = i ton polynome vaut

    "All your base are belong to us"
    OLFQJTLM

  16. Publicité
  17. #13
    sothe2000

    Re : calcul de matrice

    merci je faisais vraiment une grosse erreur. je réessaye de trouver les vecteurs avecs ces valeurs.

  18. #14
    sothe2000

    Re : calcul de matrice

    je n'arrive pas à me dépretter des écritures pour trouver les vecteurs propres complexes. je n'en ai jamais fait. comment s'en sort t-on ?

    merci

  19. #15
    PHENIXian

    Re : calcul de matrice

    Bon.... prenons la valeur propre , tu cherches un vecteur tel que



    Soit



    Evidemment c'est un systeme lie qui te donne



    Donc ton sous espace propre est

    et tu peux remplacer dans le pb aux valeurs propres ca te donne bien ce que tu veux
    "All your base are belong to us"
    OLFQJTLM

  20. #16
    Scorp

    Re : calcul de matrice

    Citation Envoyé par PHENIXian Voir le message
    Bon.... prenons la valeur propre , tu cherches un vecteur tel que



    Soit



    Evidemment c'est un systeme lie qui te donne



    Donc ton sous espace propre est

    et tu peux remplacer dans le pb aux valeurs propres ca te donne bien ce que tu veux
    Oui, c'est ca. En fait, il faut que tu te souvienne que le sous espace propre associé à ta valeur propre (ensemble des vecteurs propres associés à la vp ) n'est autre que ker(f-id), où f est l'application linéaire canoniquement associée à ta matrice M. En définitive, ca revient à faire ce que fait PHENIXian : c'est bien chercher les vecteur V=(a,b,c) tel que (M-In)*V=0. De plus, tu as déjà montré que ta matrice était diagonalisable dans C, donc tu sais que la dimension de tes sous espaces propres sera égales à l'ordre de multiplicté de la valeur propre associée. Dans ton cas, tu il te faut donc chercher 3 sous espace propres de dimension 1.

  21. #17
    sothe2000

    Re : calcul de matrice

    je trouve comme vecteurs propres

    pour 0 : ( 1 , 0 , -1 )

    pour -1 -i : ( 1 , -1-i , -i )

    pour -1 +i : ( 1 , -1+i , +i )

    mais on me demande de ranger par ordre croissant les valeurs propres pour avoir la matrice diagonale et la matrice de passage. Alors qu'on ne peut comparer i à des valeurs numériques. i > ou < 0 par ex ??

    avec comme indication que les valeurs propres de C ont pour module racine de 2.

    Question : Faut - il reppasser dans R pour avoir les matrices diagonales et de passage ?? et ce comment ??

    merci, bonne fin de soirée

  22. #18
    sothe2000

    Re : calcul de matrice

    et est ce que cela change quelquechose au résultat ?

    merci pour votre aide

  23. Publicité
  24. #19
    invite54165721

    Re : calcul de matrice

    bonsoir,

    Si V est vecteur propre, kV aussi. dans l'indication on ne parlerait pas plutot du module du vecteur propre?
    Pour diagonaliser il faut rester dans C
    On a M = PDP^-1

  25. #20
    Scorp

    Re : calcul de matrice

    Ta matrice a des valeurs propres dans C, et est même diagonale dans C. Si tu passe dans R, ta matrice ne sera plus que "diagonale par bloc" (je ne sais pas si ca ce dit vraiment). En claire, tu sais que pour une valeur propre complexe , alors a-ib sera aussi valeur propre. Ton "bloc diagonale" dans C sera . Si tu passe dans R, ton bloc deviendra , donc ta matrice dans sa totalité ne pourra plus être diagonale.
    En définitive, tu as la matrice diagonale dans C (0 partout et valeur propre complexe sur la diagonale). Tu peut aussi avoir ta matrice diagonale par bloc dans R en utilisant la transformation que j'ai donné ci-dessus. Ici, tu devrais obtenir quelque chose comme (sauf erreur de ma part).

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