groupe cyclique infini

[invite80487107]

slt
existe il des groupes cyclique infinie ???
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[invitebe0cd90e]

Formellement non, mais c'est plus une question de vocabulaire, un groupe cyclique est par definition un groupe monogene fini. Un groupe monogene est un groupe engendré par un seul element.

Il existe par contre un unique (a isomorphisme pres) groupe monogene infini, l'ensemble des entiers relatifs muni de l'addition. ( c'est aussi le groupe libre a un generateur)

Note qu'un groupe monogene engendré par un element x est forcement au plus denombrable car tout element peut etre identifié (de maniere non unique) a une suite finie de et , et que l'ensemble de ces suites est denombrable.

[invitea41c27c1]

Bonjour,

Dans la définition : un groupe cyclique est un groupe monogène de cardinal fini.
Tous les groupes monogènes sont soit de cardinal infini auquel cas il est isomorphe à , soit il est de cardinal auquel cas il est isomorphe à .

Cordialement.