Prépa ATS difficultés sur un sujet d'algèbre

[invite6506de5c]

bonjour à tous, je suis en prépa ATS et j'ai un exercice (qui fait partie d'un DM d'algèbre) qui me pose de sérieux problèmes, serait -il possible de m'aider car je n'arrive pas à appliquer la méthode vue en cours? Merci d'avance.

excusez moi pour la rédaction de l'exercice, les symboles mathématiques sont parfois traduits en français faute de symboles correspondants sur le clavier. en italique c'est la traduction en français.

Voici l'exercice:

On cherche à déterminer tous les polynômes P de l'ensemble des réels R[X] tels que P(X²)= P(X)P(X-1).

1) Déterminer les polynômes constants solutions.
2) On considère maintenant P un polynôme non constant vérifiant P(X²)= P(X)P(X-1).
a) montrer que P admet une racine a (alpha) complexe.

b) montrer alors que a² (alpha²) et (a (alpha)+1)² sont aussi racines de P

c) montrer que pour tout n appartenant à N, alpha²puissance n est aussi racine de P et que a=0 ou /a/= 1 (valeur absolue de alpha = 1)

d) montrer que pour tout n appartenant à N*,
(a+1)² puissance n est aussi racine de P et que a =-1 ou /a+1/=1 (valeur absolue de alpha + 1= 1)

e) en déduire /a/= /a+1/=1 (valeur absolue de alpha= valeur absolue de alpha + 1= 1)

f) Déterminer alors les valeurs possibles pour a (alpha) et tous les polynômes P vérifiant P(X²)= P(X)P(X-1).


Encore désolée pour la rédaction et merci d'avance, je suis vraiment bloquée par cet exercice qui m'empêche de faire résoudre l'exercice suivant.

J.N
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[invite57a1e779]

Quelles sont les questions sur lesquelles tu as des difficultés ?

Pour 1, c'est un calcul immédiat, on reporte la valeur constante de P dans P(X²)= P(X)P(X-1).
Pour 2a c'est du cours.
Pour 2b il suffit d'évaluer P(X²)= P(X)P(X-1) pour une bonne valeur de X.
Pour 2c il doit s'agir d'une récurrence sur la question précédente, et il faut penser que P n'a qu'un nombre fini de racines.
Pour 2d c'est un clone de 2c, car 2b ouvre deux horizons sur les racines de P.

[invite6506de5c]

à God's Breath:

D'abord merci pour ta réponse.

En fait, il se trouve que j'ai vraiment des difficultés avec la première question: par rapport au cours que j'ai pu faire dessus je n'arrive pas à le mettre en pratique.

Ensuite le question 2b me pose également problème, et là je ne vois même pas quelle pourrait être la méthode. Cette question m'empêche de progresser dans l'exercice.

Si tu pouvais m'éclaircir davantage cela m'aiderait peut être. Je suis un peu perdue devant cet exercice!!

Merci

[invite6506de5c]

à God's Breath:

D'abord merci pour ta réponse.

En fait, il se trouve que j'ai vraiment des difficultés avec la première question: par rapport au cours que j'ai pu faire dessus je n'arrive pas à le mettre en pratique.

Ensuite le question 2b me pose également problème, et là je ne vois même pas quelle pourrait être la méthode. Cette question m'empêche de progresser dans l'exercice.

Si tu pouvais m'éclaircir davantage cela m'aiderait peut être. Je suis un peu perdue devant cet exercice!!

Merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

Comment s'écrit la relation P(X²)= P(X)P(X-1) lorsque P est une constante : P(X)=c ?

Que donne l'évaluation de la relation P(X²)= P(X)P(X-1) pour X=α ?

[invite6506de5c]

qu'entends tu par évaluation de la relation P(X)=... ?

[invite57a1e779]

Qu'est-ce que ça donne si on remplace X par alpha ?

[invite6506de5c]

J'ai trouvé P=0 et P=1 pour la première question,
par contre je ne parviens pas à prouver que K=C) afin d'utiliser le théorème de d'alembert dans le 2a car celui ci n'est valable que dans les complexes.
Ou est-ce possible d'utiliser un autre théorème dans R.

[invite6506de5c]

mais R est dans C* donc le théorème peut marcher..

[invite6506de5c]

sinon pour la première question je n'arrive pas à rédiger ma réponse, je parvient à trouver les solutions mais je n'arrive pas à l'expliquer
svp pouvez vous m'aider?

[invite6506de5c]

excuse moi j'ai encore une question, au sujet de la question 2b si je remplace X par alpha dans l'équation, je n'arrive pas à P(alpha) = 0.
Or je sais que c'est la manière qui me permet de prouver que alpha² est une des racines de P.
je pense que je dois faire une erreur de calcul ou de propriétés opératoires. enfin je n'en suis pas sûre!
merci d'avance.

[invite57a1e779]

bonjour à tous, je suis en prépa ATS et j'ai un exercice (qui fait partie d'un DM d'algèbre) qui me pose de sérieux problèmes, serait -il possible de m'aider car je n'arrive pas à appliquer la méthode vue en cours? Merci d'avance.

excusez moi pour la rédaction de l'exercice, les symboles mathématiques sont parfois traduits en français faute de symboles correspondants sur le clavier. en italique c'est la traduction en français.

Voici l'exercice:

On cherche à déterminer tous les polynômes P de l'ensemble des réels R[X] tels que P(X²)= P(X)P(X-1).

1) Déterminer les polynômes constants solutions.
2) On considère maintenant P un polynôme non constant vérifiant P(X²)= P(X)P(X-1).
a) montrer que P admet une racine a (alpha) complexe.

On te parle de racine complexe, c'est donc qu'on se place dans pour cette question, un polynôme à coefficients réels est une espèce particulière de polynôme à coefficients complexes.

Pour la question suivante, si tu remplaces par dans , tu obtiens .
Comme puisque est racine de , tu en déduis que , donc est aussi racine de .

Tout le reste est du même genre, tu prends une valeur particulière pour , tu remplaces dans . Un des termes est nul parce qu'apparaît une racine de , donc un autre terme est nul, ce qui te fournit une autre racine de .

[invite6506de5c]

merci beaucoup, j'ai enfin réussi à comprendre!
Il me reste la dernière question: je ne sais pas du tout comment la résoudre car nous n'avons pas encore vu cela en cours. Est ce qu'il serait possible de m'aider encore une (dernière ) fois.

encore merci d'avance

[inviteaf1870ed]

Pour la dernière question : que peut on dire de a si sa valeur absolue vaut 1 ? Et dans ce cas, que vaut |a+1| ? Que peut on en conclure sur l'existence de a ?