Fontion IR ---->IR

[invite84d6700e]

Bonjour,

d'ici 2 jours je dois remettre un devoir de mathématiques. Malheureusement, il me reste 3 questions dont je n'ai pas réussi à résoudre. Alors un peu d'aide serait la bienvenue.

Q.1 Je dois donner une interprétation géométrique du théorème suivant: ''Si une fonction de IR ---->IR est dérivable partout dans un intervalle contenu dans son domaine de définition alors cette fonction est continue sur cet intervalle''.
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[shokin]

Il me semble que continue égale "pente lisse" (au lieu de "sommet crochu" ). Je peux me glisser le long de la pente sans tomber sur une épine.

Shokin

[invite88ef51f0]

Salut,
Si la fonction n'étais pas continue, il y aurait un point de discontinuité, un saut. Or sur une discontinuité, la dérivée tend vers l'infini, la fonction n'est pas dérivable en ce point.

[invitea77054e9]

Ce théorème exprime une condition nécessaire de dérivabilité des fonctions réelles.
Toute fonction dérivable est nécessairement continue.
Mais attention, rien ne dit que cette condition est suffisante. Par exemple la fonction |x| qui à x associe la valeur absolue de x est bien continue sur lR mais n'est pas dérivable en 0.
Ceci est du au fait que la dérivée à gauche de |x| n'est pas égale à la dérivée à droite de |x|.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite88ef51f0]

Il existe même des fonctions continues partout et dérivables nulle part

[moijdikssékool]

Or sur une discontinuité, la dérivée tend vers l'infini, la fonction n'est pas dérivable en ce point

pas forcément. Une fonction peut être dérivable à droite et à gauche en 1 point xo (les limites peuvent être finies pas forcément l'infini)


Par contre, j'aimerais bien être éclairci sur un point:

je me souviens de l'inclusion

soit la partie entiere E(x), elle est dérivable à droite et à gauche en 0, c'est à dire


Mais on ne dit pas "E(x) est dérivable en 0 mais de dérivée non continue en ce point", c'est à dire que l'on ne dit pas (et encore moins )

car si on dit , comme , on dirait que E(x) est continue, ce qui est faux!

question: que signifie si ca ne veut pas dire "dérivable mais pas forcément de dérivée continue"?

[invite88ef51f0]

pas forcément. Une fonction peut être dérivable à droite et à gauche en 1 point xo (les limites peuvent être finies pas forcément l'infini)

Effectivement, je n'ai pas été rigoureux : le taux d'accroissement tend vers l'infini, donc la fonction n'est pas dérivable en ce point...

[moijdikssékool]

soit la partie entiere E(x), elle est dérivable à droite et à gauche en 0

j'ai dit une bêtise dans le précédent post. E est de dérivée nulle à droite et à gauche de 0. Par contre elle est de dérivée infinie en 0

par contre , c'est à dire qu'elle est dérivable mais de dérivée non continue. comme , elle est bien continue

dans le dernier post, j'ai fait un raisonnement à l'envers à partir d'une hypothèse fausse. Difficile de remonter à l'hypothèse sans arriver à une absurdité...

[invite8b12b286]

Pour en revenir à la question initiale (interprétation géométrique): si une fonction est dérivable en un point, la pente de la courbe est finie. Dans ce cas, la courbe ne peut pas faire de 'pics', ni de 'sauts': elle est continue.

[invite4b9cdbca]

Une fonction f continue sur IR, c'est une fonction qui a tout x réel associe une image (unique) f(x), non ? L'apparence d'une fonction continue serait un "trait" continu...

[invite88ef51f0]

Une fonction f continue sur IR, c'est une fonction qui a tout x réel associe une image (unique) f(x), non ?

Non...

L'apparence d'une fonction continue serait un "trait" continu...

Oui...
Une fonction est continue si pour tout x₀. En gros, ça veut dire que les poins sont reliés ( )...

[invite4b9cdbca]

Pourquoi non ?

[invite88ef51f0]

Parce que ce que tu décris, c'est une fonction... mais pas une fonction continue.
Si je prends une fonction f telle que f(x)=0 pour tout x<0, f(0)=12 et f(x)=1 pour tout x>0, elle vérifie bien ta définition, mais elle n'est pas continue.

[invite4b9cdbca]

Oui effectivement. Merci d'avoir corrigé cette erreur. Mais là tu prends l'exemple d'une fonction paramétrée (c'est comme ça qu'on appele ?). Si on prend une fonction toute bête du genre f : x -> y pour tout x de IR, on devrait retomber sur ma définition, non ?

[invitec314d025]

par contre , c'est à dire qu'elle est dérivable mais de dérivée non continue. comme , elle est bien continue

Non, elle n'est tout simplement pas dérivable en 0.
Si vous voulez une fonction dérivable sur R, mais de dérivée non continue, en voici une classique :
f: ²sin(1/) sur R\{0}
et f(0) = 0
f() quand donc elle est continue
sur R\{0}, f'(x) = 2sin(1/) - cos(1/)
f' n'a pas de limite en 0, mais:
f()/ = sin(1/) quand donc f est dérivable en 0, et de dérivée nulle....

[invitec314d025]

Oui effectivement. Merci d'avoir corrigé cette erreur. Mais là tu prends l'exemple d'une fonction paramétrée (c'est comme ça qu'on appele ?). Si on prend une fonction toute bête du genre f : x -> y pour tout x de IR, on devrait retomber sur ma définition, non ?

Non ce n'est pas une fonction paramétrée, c'est juste une fonction définie de manière explicite.
et f: x -> y pour tout x de R, c'est simplement une fonction dont l'ensemble de définition est R, rien de plus.

[invite88ef51f0]

Kron, pour la plupart des fonctions que tu peux rencontrer, les discontinuités sont effectivement des points où ta fonction n'est pas définie, mais ce n'est pas une règle générale... Alors garde en tête la bonne définition, au cas où...

[moijdikssékool]

Non, elle n'est tout simplement pas dérivable en 0
[...]
f' n'a pas de limite en 0, mais:
f(x)/x = xsin(1/x) -> 0 quand x->0 donc f est dérivable en 0, et de dérivée nulle....

En gros il faudrait un ensemble autre que pour classer les fonctions comme

Cependant, n'est pas comme
la première n'a pas de saut et je peux aisément tracer la courbe de sa dérivée qui, elle, a un saut en 0
la seconde a un saut et si je trace la courbe de sa dérivée, je dois signaler qu'elle n'est pas dérivable en 0, ou que sa dérivée y est infinie

Et si je trace la courbe de la dérivée de ton exemple, je place quoi en 0? 0 ou indéfini?

[invitec314d025]

En gros il faudrait un ensemble autre que pour classer les fonctions comme

Cependant, n'est pas comme
la première n'a pas de saut et je peux aisément tracer la courbe de sa dérivée qui, elle, a un saut en 0

un saut oui, mais pas définie en 0 pour autant.

la seconde a un saut et si je trace la courbe de sa dérivée, je dois signaler qu'elle n'est pas dérivable en 0, ou que sa dérivée y est infinie

Sa dérivée n'est pas infinie en 0, elle n'est pas définie ...

Et si je trace la courbe de la dérivée de ton exemple, je place quoi en 0? 0 ou indéfini?

La valeur de la dérivée en 0 est 0, donc tu mets 0.
Le problème c'est si tu veux tracer la courbe autour de zéro, puisque dans n'importe quel intervalle ouvert contenant 0, tu as une infinité d'oscillations.

[invite84d6700e]

Merci de votre aide, ceci fut apprécié

[moijdikssékool]

je crois avoir saisi la nuance
la valeur absolue est non dérivable (parceque prob en 0) et de dérivée non continue
ta fonction est dérivable et de dérivée non continue

[inviteab2b41c6]

Salut,
Si la fonction n'étais pas continue, il y aurait un point de discontinuité, un saut. Or sur une discontinuité, la dérivée tend vers l'infini, la fonction n'est pas dérivable en ce point.

Salut,
en fait si ca peut donner une idée de ce qui se passe, c'est relativement faux...
Regarde ce qui se passe pour
f(x)=xsin(1/x)
La dérivée n'a aucune limite en 0, et pourtant, la fonction f y est dérivable...

[invitec314d025]

je crois avoir saisi la nuance
la valeur absolue est non dérivable (parceque prob en 0) et de dérivée non continue
ta fonction est dérivable et de dérivée non continue

Presque.
En fait une fonction est continue si elle est continue en chacun des points de son ensemble de définition.
La valeur absolue est non dérivable en 0, sa dérivée n'est donc pas définie en 0.
Mais la dérivée est continue sur ]-oo; 0[U]0;+oo[ ....

[invitec314d025]

Salut,
en fait si ca peut donner une idée de ce qui se passe, c'est relativement faux...
Regarde ce qui se passe pour
f(x)=xsin(1/x)
La dérivée n'a aucune limite en 0, et pourtant, la fonction f y est dérivable...

non dérivable en 0 puisque f(x)/x = sin(1/x) n'a pas de limite en 0.
ça marche par contre avec f() = ²sin(1/)
voir post plus haut ...

[moijdikssékool]

Mais la dérivée est continue sur ]-oo; 0[U]0;+oo[ ....

kler, si on change d'ensemble et se placer sur des ensembles où iapu de problèmes, et ben... iapu de problèmes!

[invitec314d025]

ben oui, pourquoi se compliquer la vie ?