divisibilité par 7

[invitefffb8ef1]

Est ce que quelqu'un pourrait m'expliquer pourquoi les nombres formés de triplet abcabc (a,b et c différent de 0) sont tous divisible par 7? On m' a posé ça en devoir ce matin, j'ai pas trouvé et j'ai toujours pas la réponse (la honte!)
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[invitec314d025]

(abcabc) = 1000 * (abc) + abc = 1001 * (abc) = 7 * 143 * (abc)

[invitedebe236f]

abc /7 reste de 0 a 6 si tu multiplie le reste par 1000 puis division par 7 le reste complete le premier reste donc abcabc /7 entier

en plus clair abcabc /7 si tu fait la division pour le premier abc il te reste un reste*1000 + abc

heu prend la demo audessus boucoup plus claire

[invite97a92052]

Ton nombre abcabc peut s'écrire :

100000a + 10000b + 1000c + 100a + 10b + c

On écrit les congruences des puissances de 10 modulo 7 :
1 = 1 donc c = c
10 = 3 donc 10b = 3b
100 = 2 donc 100a = 2a
1000 = 6 donc 1000c = 6c
10000 = 4 donc 10000b = 4b
100000 = 5 donc 100000a = 5a

On a donc :

abcabc = c + 3b + 2a + 6c + 4b + 5a [modulo 7]
soit : abcabc = 7a + 7b + 7c [modulo 7]
et donc abcabc = 7(a+b+c) [7]

comme 7 = 0 [7]
7(a+b+c) = 0 [7]
et donc abcabc = 0 [7]
d'où abcabc divisible par 7

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitefffb8ef1]

merci beaucoup ça me rassure parce que j'avais écrit un truc sans trop de conviction qui ressemble beaucoup a ce que a écrit cricri c'est peut etre pas aussi rigoureux que la démo matthias ou g_h mais tant pis.
merci encore.