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divisibilité par 11



  1. #1
    bastien90210

    divisibilité par 11


    ------

    Voila j'ai un question sur laquelle je bloque complêtement, donc je vous la met :

    Montrer que 8^2001 - 8 est divisible par 11.

    Bon maintenant, je sais que un nombre est divisible par 11, si et seulement si lorsque l'on calcul la somme A des chiffres en position impaire et la somme C des chiffres en position paire, et que la différence A-C (ou C-A) est divisible par 11.

    Donc on pourrait partir de ça, mais je vois pas par ou commencer, ni procéder !

    Merci d'avance !

    -----

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  3. #2
    MiMoiMolette

    Re : divisibilité par 11

    Ou bien cherche la puissance de 8 qui soit congrue à 1 (ou -1) modulo 11.
    Soit x cette puissance.

    Tu auras

    Ensuite, si tu écris la division euclidienne de 2001 par x : , tu auras :



    Etc
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

  4. #3
    bastien90210

    Re : divisibilité par 11

    merci mimoimolette, je voyais pas trop si je devais ou pas utiliser les congruence, je vais essayer de poursuivre !

  5. #4
    bastien90210

    Re : divisibilité par 11

    mais tu pense pas qu'il peut y avoir plusieur puissance qui soit congru à 1 ou -1 modulo 11 ?? coment je fais dans ces cas la ?

  6. #5
    Gwyddon

    Re : divisibilité par 11

    Il te suffit d'en trouver une seule

    Et si tu connais le petit théorème de Fermat, tu résouds l'exercice en 2 secondes puisque 11 est un nombre premier
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    bastien90210

    Re : divisibilité par 11

    Je connais pas le théorème de Fermat mdr ! mais je vois pas comment trouver cette puissance ! pck ca peut durer longtemps avant que je la trouve,non ?

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  10. #7
    bastien90210

    Re : divisibilité par 11

    g 8^5 congru à -1 (modulo 11)

  11. #8
    GalaxieA440

    Re : divisibilité par 11

    A noter que cet exemple est particulièrement ennuyant avec la congruence parece qu'il demande d'essayer sur les 10 premiers termes avant de trouver quelque chose qui congrue à 1 modulo 11, j'ai un programme sur CASIO qui fait ça rapidement, mais bon, pour ceux qui n'en ont pas....

    En tout cas ce genre d'éxos à été détaillé dans le fil sur la spe maths, si tu veux quelques autres exemples....

    ++
    "Pursue the small utopias... nature, music, friendship, love" Kupferberg

  12. #9
    bastien90210

    Re : divisibilité par 11

    je trouve donc 8^2001 = 1^400 x 8^1 (modulo 11)

    c'est ça ???

    mais je poursuit comment la suite ?

    en rajoutant -8 ?

  13. #10
    MiMoiMolette

    Re : divisibilité par 11

    Hey, c'est (-1)^400, pas 1^400, même si ça ne change rien puisque 400 est pair.

    Donc, tu trouves que c'est congru à 1^400 x 8 = 8, non ?
    Et ensuite, oui, tu ajoutes -8



    @Gwyddon : ils font pas ça en terminale je crois oO
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

  14. #11
    GalaxieA440

    Re : divisibilité par 11

    Propriété sur la somme des congruences :

    tu as 8^2001 que tu as exprimé (8^5)^400 x 8

    Donc ton expression devient (8^5)^400 x 8 -8
    (8^5)^400 congrue ? mod 11
    8 congrue ?? mod 11
    et -8 congrue ??? mod 11

    Donc (8^5)^400 x 8 -8 congrue ?????? mod 11 (la c'est plus que du cours...)
    "Pursue the small utopias... nature, music, friendship, love" Kupferberg

  15. #12
    bastien90210

    Re : divisibilité par 11

    8^2001 congru à -1^400 x 8 (modulo 11)

    donc 8^2001 congru à -8 (modulo 11)

    mais le probleme c'est qu'il me faut 8^2001 - 8 divisible par 11 !

    et la ça donne 8^2001 + 8 divisible par 11

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  17. #13
    bastien90210

    Re : divisibilité par 11

    au final ca congru à 0 (modulo 11) ca je suis OK, mais je voudrai 8^2001 - 8 congru à 0 (mod 11) et pas 8^2001 + 8 congru à 0 (mod 11)

  18. #14
    MiMoiMolette

    Re : divisibilité par 11

    Hey...

    (-1)^400 = 1, pas -1.

    Donc, 8^2001 est congru à 8 et non -8.

    Et après, tu en déduis la congruence de 8^2001 - 8.
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

  19. #15
    bastien90210

    Re : divisibilité par 11

    jcroi chu pa réveiller : (-1)^400 ca donne 1 ???????????????????

  20. #16
    bastien90210

    Re : divisibilité par 11

    merci tt le monde !!!!

  21. #17
    MiMoiMolette

    Re : divisibilité par 11

    Eh bien oui. Quand tu élèves un nombre négatif à une puissance paire, le - disparaît

    Un carré est toujours positif.

    Pour mieux voir, tu peux écrire

    Or, (-1)^2 = 1
    - Je peux pas, j'ai cours
    - Vous n'êtes pas un peu vieux ?
    - Je suis le prof

  22. #18
    Gwyddon

    Re : divisibilité par 11

    Citation Envoyé par MiMoiMolette Voir le message
    @Gwyddon : ils font pas ça en terminale je crois oO
    J'ai bien parlé du petit théorème de Fermat, et c'était en TS spé maths que je l'avais vu pour la première fois

    Pour ceux que ça intéresse voilà son énoncé :

    Pour tout p premier, on a quel que soit a premier avec p (ie non multiple de p) ap-1 congru à 1 modulo p.


    Application ici : 11 est premier, donc 810 modulo 11 ; or 2001 = 200*10 + 1 -> 82001 congru à 8 modulo 11, c'est fini.
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

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