Critères de divisibilité par 33 et 99

[invited6f327c1]

Bonjour a tous, j'ai un petit exo sur lequel je bloque :

On partage un entier naturel N en tranches de deux chiffres à partir de la droite, la dernière tranche pouvant contenir moins de deux chiffres. Soit s la somme des nombres représentés par ces différentes tranches.
a) Montrer que : N congru à s (99)
b) Enoncer un critère de divisibilité par 99, puis par 33.
c) Appliquer ces critères à 43 560, et à 85 901 457.




Pour l'instant j'ai pensé à ça :

N = an*10^n+an-1*10^n-1+...+a2*10²+a1*10+a0


S = a0+a1*10+a2+a3*10+...+an-1+an*10


Mais je trouve N-s = an*10^n+an-1*10^n-1+...+a2*10²-a2-a3*10-...-an-1-an*10


Mais comment montrer qu'il s'agit d'un multiple de 99 afin de prouver la congruence..? la je bloque, si quelqu'un a un indice svp, merci beaucoup?
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[invited6f327c1]

Bonjour a tous, j'ai un petit exo sur lequel je bloque :

On partage un entier naturel N en tranches de deux chiffres à partir de la droite, la dernière tranche pouvant contenir moins de deux chiffres. Soit s la somme des nombres représentés par ces différentes tranches.
a) Montrer que : N congru à s (99)
b) Enoncer un critère de divisibilité par 99, puis par 33.
c) Appliquer ces critères à 43 560, et à 85 901 457.




Pour l'instant j'ai pensé à ça :

N = an*10^n+an-1*10^n-1+...+a2*10²+a1*10+a0


S = a0+a1*10+a2+a3*10+...+an-1+an*10


Mais je trouve N-s = an*10^n+an-1*10^n-1+...+a2*10²-a2-a3*10-...-an-1-an*10


Mais comment montrer qu'il s'agit d'un multiple de 99 afin de prouver la congruence..? la je bloque, si quelqu'un a un indice svp, merci beaucoup?

Personne pour un petit conseil?

[invited6f327c1]

Personne pour un petit conseil?

Up svp je blok toujours j'aimerais bien votre aide Merci.

[invite31253240]

Je ne suis pas d'accord avec toi sur les N et S.
Moi je trouve N=a₀.10⁰+a₁.10¹+a₂.10²+a₃.10³+…+a_n.10ⁿ
et S=a₀.10⁰+a₁.10¹+a₂.10⁰+a₃.10¹+…+…
Maintenant 10⁰=1 qui est corgru à 1[99]
10¹=10 qui est congru à 10[99]
10²=100 qui est congru à 1[99]
10³=1000 qui est congru à 10[99]
On remarque donc que 10^2k est congru à 1[99], et 10^2k+1 est congru à 10[99]
(il y a surement une démonstration à cela).
Mais à partir de là, c'est très simple, et je vais te laisser faire : tu n'as plus qu'à écrire N=quelquechose [99], en remplaçant les 10^2k par 1, et 10^2k+1 par 10, et conclure.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite31253240]

Puis pour la question b, si tu connais la démonstration de la règle pour 3 et 9, tu n'as qu'a bidouiler un peu, mais c'est la même !

[invited6f327c1]

Je ne suis pas d'accord avec toi sur les N et S.
Moi je trouve N=a₀.10⁰+a₁.10¹+a₂.10²+a₃.10³+…+a_n.10ⁿ
et S=a₀.10⁰+a₁.10¹+a₂.10⁰+a₃.10¹+…+…
Maintenant 10⁰=1 qui est corgru à 1[99]
10¹=10 qui est congru à 10[99]
10²=100 qui est congru à 1[99]
10³=1000 qui est congru à 10[99]
On remarque donc que 10^2k est congru à 1[99], et 10^2k+1 est congru à 10[99]
(il y a surement une démonstration à cela).
Mais à partir de là, c'est très simple, et je vais te laisser faire : tu n'as plus qu'à écrire N=quelquechose [99], en remplaçant les 10^2k par 1, et 10^2k+1 par 10, et conclure.

D'accord je vois, ouais c'est pas la même chose... merci à toi.

[invite31253240]

Qu'est-ce ce que tu veux dire quand tu dis que c'est pas la même chose ?
Sinon, petite rectification pour la b) : c'est encore plus simple que ce que j'ai dit : c'est uniquement une application de la a).

[invite31253240]

Pour démontrer que 10^2k est congru à 1[99], et 10^2k+1 est congru à 10[99], tu peux faire comme ça :
10^2k=(10²)^k=100^k
Or 100 est congru à 1[99], donc 10^2k est congru à 1^k[99]=1[99]
Et je te laisse faire l'autre avec 2k+1 : c'est pareil.

[invited6f327c1]

Pour démontrer que 10^2k est congru à 1[99], et 10^2k+1 est congru à 10[99], tu peux faire comme ça :
10^2k=(10²)^k=100^k
Or 100 est congru à 1[99], donc 10^2k est congru à 1^k[99]=1[99]
Et je te laisse faire l'autre avec 2k+1 : c'est pareil.

Ok merci je vais finir ca alors.
Encore merci