Critères de divisibilité par 33 et 99
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Critères de divisibilité par 33 et 99



  1. #1
    invited6f327c1

    Critères de divisibilité par 33 et 99


    ------

    Bonjour a tous, j'ai un petit exo sur lequel je bloque :

    On partage un entier naturel N en tranches de deux chiffres à partir de la droite, la dernière tranche pouvant contenir moins de deux chiffres. Soit s la somme des nombres représentés par ces différentes tranches.
    a) Montrer que : N congru à s (99)
    b) Enoncer un critère de divisibilité par 99, puis par 33.
    c) Appliquer ces critères à 43 560, et à 85 901 457.




    Pour l'instant j'ai pensé à ça :

    N = an*10^n+an-1*10^n-1+...+a2*10²+a1*10+a0


    S = a0+a1*10+a2+a3*10+...+an-1+an*10


    Mais je trouve N-s = an*10^n+an-1*10^n-1+...+a2*10²-a2-a3*10-...-an-1-an*10


    Mais comment montrer qu'il s'agit d'un multiple de 99 afin de prouver la congruence..? la je bloque, si quelqu'un a un indice svp, merci beaucoup?

    -----

  2. #2
    invited6f327c1

    Re : Critères de divisibilité par 33 et 99

    Citation Envoyé par BOBYJOE Voir le message
    Bonjour a tous, j'ai un petit exo sur lequel je bloque :

    On partage un entier naturel N en tranches de deux chiffres à partir de la droite, la dernière tranche pouvant contenir moins de deux chiffres. Soit s la somme des nombres représentés par ces différentes tranches.
    a) Montrer que : N congru à s (99)
    b) Enoncer un critère de divisibilité par 99, puis par 33.
    c) Appliquer ces critères à 43 560, et à 85 901 457.




    Pour l'instant j'ai pensé à ça :

    N = an*10^n+an-1*10^n-1+...+a2*10²+a1*10+a0


    S = a0+a1*10+a2+a3*10+...+an-1+an*10


    Mais je trouve N-s = an*10^n+an-1*10^n-1+...+a2*10²-a2-a3*10-...-an-1-an*10


    Mais comment montrer qu'il s'agit d'un multiple de 99 afin de prouver la congruence..? la je bloque, si quelqu'un a un indice svp, merci beaucoup?
    Personne pour un petit conseil?

  3. #3
    invited6f327c1

    Re : Critères de divisibilité par 33 et 99

    Citation Envoyé par BOBYJOE Voir le message
    Personne pour un petit conseil?
    Up svp je blok toujours j'aimerais bien votre aide Merci.

  4. #4
    invite31253240

    Re : Critères de divisibilité par 33 et 99

    Je ne suis pas d'accord avec toi sur les N et S.
    Moi je trouve N=a0.100+a1.101+a2.102+a3.103+…+an.10n
    et S=a0.100+a1.101+a2.100+a3.101+…+…
    Maintenant 100=1 qui est corgru à 1[99]
    101=10 qui est congru à 10[99]
    102=100 qui est congru à 1[99]
    103=1000 qui est congru à 10[99]
    On remarque donc que 102k est congru à 1[99], et 102k+1 est congru à 10[99]
    (il y a surement une démonstration à cela).
    Mais à partir de là, c'est très simple, et je vais te laisser faire : tu n'as plus qu'à écrire N=quelquechose [99], en remplaçant les 102k par 1, et 102k+1 par 10, et conclure.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invite31253240

    Re : Critères de divisibilité par 33 et 99

    Puis pour la question b, si tu connais la démonstration de la règle pour 3 et 9, tu n'as qu'a bidouiler un peu, mais c'est la même !

  7. #6
    invited6f327c1

    Re : Critères de divisibilité par 33 et 99

    Citation Envoyé par vibraphone Voir le message
    Je ne suis pas d'accord avec toi sur les N et S.
    Moi je trouve N=a0.100+a1.101+a2.102+a3.103+…+an.10n
    et S=a0.100+a1.101+a2.100+a3.101+…+…
    Maintenant 100=1 qui est corgru à 1[99]
    101=10 qui est congru à 10[99]
    102=100 qui est congru à 1[99]
    103=1000 qui est congru à 10[99]
    On remarque donc que 102k est congru à 1[99], et 102k+1 est congru à 10[99]
    (il y a surement une démonstration à cela).
    Mais à partir de là, c'est très simple, et je vais te laisser faire : tu n'as plus qu'à écrire N=quelquechose [99], en remplaçant les 102k par 1, et 102k+1 par 10, et conclure.
    D'accord je vois, ouais c'est pas la même chose... merci à toi.

  8. #7
    invite31253240

    Re : Critères de divisibilité par 33 et 99

    Qu'est-ce ce que tu veux dire quand tu dis que c'est pas la même chose ?
    Sinon, petite rectification pour la b) : c'est encore plus simple que ce que j'ai dit : c'est uniquement une application de la a).

  9. #8
    invite31253240

    Re : Critères de divisibilité par 33 et 99

    Pour démontrer que 102k est congru à 1[99], et 102k+1 est congru à 10[99], tu peux faire comme ça :
    102k=(102)k=100k
    Or 100 est congru à 1[99], donc 102k est congru à 1k[99]=1[99]
    Et je te laisse faire l'autre avec 2k+1 : c'est pareil.

  10. #9
    invited6f327c1

    Re : Critères de divisibilité par 33 et 99

    Citation Envoyé par vibraphone Voir le message
    Pour démontrer que 102k est congru à 1[99], et 102k+1 est congru à 10[99], tu peux faire comme ça :
    102k=(102)k=100k
    Or 100 est congru à 1[99], donc 102k est congru à 1k[99]=1[99]
    Et je te laisse faire l'autre avec 2k+1 : c'est pareil.
    Ok merci je vais finir ca alors.
    Encore merci

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