Divisibilité par 1919190...

[invite3a0844ce]

Salut,

J'ai un petit problème avec une démonstration :

Il faut montrer que pour tout entier naturel a, a^-37 - a est divisible par 1919190.

Je l'ai déjà démontré par récurrence, mais je trouve ça un peu minable donc je cherche une démonstration plus solide.

J'ai donc décomposé 1919190 en produits de facteurs premiers. On a :

1919190 = 2*3*5*7*13*19*37 Il suffit alors de montrer que a^-37 - a est divisible par tous ces nombres.

Pour la division par 37, aucun problème on applique Fermat. Pour celle par 19 j'ai également réussi. En bidouillant un peu j'ai également trouvé pour 2, 3 et 5 mais si vous avez une méthode qui tienne la route, je suis preneur. Par contre pour 7 et 13 je bloque donc si vous avez une piste ce serait sympa.

Merci d'avance,
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[invite4793db90]

Salut,

le même théorème de Fermat donne et ...

Cordialement.

[invite3a0844ce]

Salut martini,

Je ne vois pas où tu veux en venir... Pourquoi faire intervenir les congruences ? Ce que tu donnes nous permet seulement d'affirmer que a^37 - a^31 est divisible par 7 et que a^37 - a^25 est divisible par 13.

Il faut simplement exprimer a^37 - a en un produit de facteurs faisant intervenir d'une part a (a^6 - 1) et d'autre part a (a^12 - 1)... mais comment ?

[invite4793db90]

Si , alors et mieux : , donc .

Je te laisse terminer.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite35452583]

Bonjour,
un peu plus rapide :
si p est un nombre premier alors
d'où si p est un nombre premier et k entier alors
Or, si alors

Ensuite, il suffit de vérifier que 2-1, 3-1, 5-1, 7-1, 13-1, 19-1, 37-1 divise 37-1=36.

[invite3a0844ce]

Ah ok martini je ne le voyais pas du tout comme ça.

Et bien merci, je n'ai plus qu'à faire ça avec chaque facteur.

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