Voilà comme promis, un exercice assez dur je trouve , on a pour tout x y et z réels deux à deux non distincts:
Prouver que :
Go go go God's Breath ^^
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Voilà comme promis, un exercice assez dur je trouve , on a pour tout x y et z réels deux à deux non distincts:
Prouver que :
Go go go God's Breath ^^
Bonjour,
deux à deux non distincts ça ne veut pas dire qu'ils sont tous égaux ?
Très joli exercice...
Je note .
Alors .
Donc , soit .
Par permutation circulaire, on a le même résultat pour et pour .
Le polynôme , de degré au plus 2, a trois racines distinctes : il est identiquement nul ; on a donc et .
Mézalor , donc , et .
Bonsoir,
C'est sûr que x,y et z sont deux à deux NON distincts (tous égaux) ???
Parce que si x=y=z, alors les égalités sont toujours vraies pour tout x, y et z non nuls et on ne risque pas de démontrer le cas particulier
|xyz|=1 qui reviendrait en fait à |x|=1 !
...à moins qu'il y ait une grosse subtilité que je n'ai pas capté !
[edit] -> j'avais pas vu le message de God's Breath ! -> Bravo !
Dernière modification par Anakinele ; 03/12/2008 à 20h20.
Bonsoir:
On a x+1/y= y+1/z=z+1/x alors
x+1/y= y+1/z alors (x-y) = 1/z-1/y= ( y-z)/yz..............e1
x+1/y= z+1/x alors (x-z) = 1/x-1/y= ( y-x)/yx..............e2
y+1/z= z+1/x alors (y-z) = 1/x-1/z= ( z-x)/xz..............e3
hypothése x,y et z sont distinctes alors en faisant les produit des membres des tois egalités on obtient:
(x-y). (x-z).(y-z)= ( y-z)/yz . ( y-x)/yx .( z-x)/xz
ce qui donne (x.y.z)^2 =1 donc xyz= 1 ou xyz=-1
voila tout est bien qui fini bien
Effectivement une erreure de ma part, je demande au modo de la corriger, x y et z sont des réels non nuls disctincts deux à deux.
Sinon belle demonstration God's Breath, je la vérifierai demain la tienne Nabil. God's Breath je voudrais savoir combien de temps ca t'as pris pour trouver le résultat ? car c'est assez chaud je trouve comme exo pour tomber dessus du premier coup.....
bonjour
avant que tu verifies ma solution jj'ai deux remarques a faire:
Remarque1: le cas ou x=y=z est une solution triviale (evidente) et donc l'objectif est de trouver des solution autres que cette solution.
remarque 2 : il est demande de montre que la valeure absolue du produit soit egale a 1 ( donc on doit montrer que xyz=1 ou xyz=-1) chose qui n'est pas trouver par l'autre demonstration que j'avoue tres interessante peut etre il lui manque une remarque ou autre chose pour parvenir a xyz=1.
Voila bonne journée et a la prochaine.
Je crois qu'il y a un légère erreur de calcul dans le message de God's Breath, l'équation finale devrait être (je crois) :
et donc la solution donne = 1 et non S = 1.
Ceci dit je trouve ta solution plus simple.
Dernière modification par Médiat ; 04/12/2008 à 12h59.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Je sais bien, puisque (x,y,z) et (-x,-y,-z) sont simultanément solutions... l'équation en S ne peut avoir la seule solution 1.
Je n'ai jamais su calculer, et il est beaucoup trop tard pour que je m'y mette.
Belle démonstration Nabil, je ne vois pas plus simple, bravo à toi, sinon God's Breath, tu as utilisé le terme " permutation circulaire" pourrais je savoir c'est quoi ?
x prend la place de y, y prend la place de z, z prend la place de x...