Exercice d'olympiades

[mx6]

Voilà comme promis, un exercice assez dur je trouve , on a pour tout x y et z réels deux à deux non distincts:

Prouver que :

Go go go God's Breath ^^
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[invitebb921944]

Bonjour,
deux à deux non distincts ça ne veut pas dire qu'ils sont tous égaux ?

[Arkangelsk]

Bonsoir;

Bonjour,
deux à deux non distincts ça ne veut pas dire qu'ils sont tous égaux ?

Exact. Mis à par ça, si on prend , par exemple, le résultat est faux .

[God's Breath]

Très joli exercice...

Je note .

Alors .

Donc , soit .

Par permutation circulaire, on a le même résultat pour et pour .

Le polynôme , de degré au plus 2, a trois racines distinctes : il est identiquement nul ; on a donc et .

Mézalor , donc , et .

[A voir en vidéo sur Futura]

[Anakinele]

Bonsoir,

C'est sûr que x,y et z sont deux à deux NON distincts (tous égaux) ???
Parce que si x=y=z, alors les égalités sont toujours vraies pour tout x, y et z non nuls et on ne risque pas de démontrer le cas particulier
|xyz|=1 qui reviendrait en fait à |x|=1 !

...à moins qu'il y ait une grosse subtilité que je n'ai pas capté !

[edit] -> j'avais pas vu le message de God's Breath ! -> Bravo !

[invitece2661ac]

Bonsoir:

On a x+1/y= y+1/z=z+1/x alors

x+1/y= y+1/z alors (x-y) = 1/z-1/y= ( y-z)/yz..............e1
x+1/y= z+1/x alors (x-z) = 1/x-1/y= ( y-x)/yx..............e2
y+1/z= z+1/x alors (y-z) = 1/x-1/z= ( z-x)/xz..............e3
hypothése x,y et z sont distinctes alors en faisant les produit des membres des tois egalités on obtient:
(x-y). (x-z).(y-z)= ( y-z)/yz . ( y-x)/yx .( z-x)/xz
ce qui donne (x.y.z)^2 =1 donc xyz= 1 ou xyz=-1

voila tout est bien qui fini bien

[mx6]

Effectivement une erreure de ma part, je demande au modo de la corriger, x y et z sont des réels non nuls disctincts deux à deux.
Sinon belle demonstration God's Breath, je la vérifierai demain la tienne Nabil. God's Breath je voudrais savoir combien de temps ca t'as pris pour trouver le résultat ? car c'est assez chaud je trouve comme exo pour tomber dessus du premier coup.....

[invitece2661ac]

bonjour

avant que tu verifies ma solution jj'ai deux remarques a faire:
Remarque1: le cas ou x=y=z est une solution triviale (evidente) et donc l'objectif est de trouver des solution autres que cette solution.
remarque 2 : il est demande de montre que la valeure absolue du produit soit egale a 1 ( donc on doit montrer que xyz=1 ou xyz=-1) chose qui n'est pas trouver par l'autre demonstration que j'avoue tres interessante peut etre il lui manque une remarque ou autre chose pour parvenir a xyz=1.
Voila bonne journée et a la prochaine.

[Médiat]

1 ( donc on doit montrer que xyz=1 ou xyz=-1) chose qui n'est pas trouver par l'autre demonstration que j'avoue tres interessante peut etre il lui manque une remarque ou autre chose pour parvenir a xyz=1.

Je crois qu'il y a un légère erreur de calcul dans le message de God's Breath, l'équation finale devrait être (je crois) :

et donc la solution donne = 1 et non S = 1.

Ceci dit je trouve ta solution plus simple.

[God's Breath]

Je crois qu'il y a un légère erreur de calcul dans le message de God's Breath

Je sais bien, puisque (x,y,z) et (-x,-y,-z) sont simultanément solutions... l'équation en S ne peut avoir la seule solution 1.

Je n'ai jamais su calculer, et il est beaucoup trop tard pour que je m'y mette.

[mx6]

Belle démonstration Nabil, je ne vois pas plus simple, bravo à toi, sinon God's Breath, tu as utilisé le terme " permutation circulaire" pourrais je savoir c'est quoi ?

[Thorin]

x prend la place de y, y prend la place de z, z prend la place de x...