théorème interessant dans la topologie

[invite80487107]

Le théorème de Baire:
Soit E un espace complet
Pour toute suite d’ouverts dense a une intersection dense.

Démonstration:
Soit (Xn)n une suite d’ouverts dense dans E

Admettons cette équivalence
[A est dense dans X ] équivalent à [tout ouvert non vide de X contient un élément de A]

Soit V un ouvert non vide de X
/*On cherche un élément a dans V∩(∩Xn)*/
Soit a1 dans V∩X1 (car X1 est dense)
Comme V∩X1 est un ouvert il existe r1>0 tel que B(a1,2.r1)inclue dans V∩X1
Adh(B(a1,r1) inclue dans B(a1,2.r1) incluse dans V∩X1

Maintenant soit a2 dans (B(a1,r1) ∩X2)
Soit r2 tel que B(a2,2.r2) inclue dans (B(a1,r1) ∩ X2)
Ainsi adh(a2,r2) incluse dans (B(a1,r1) ∩X2)
.
.
.
On obtient a1, a2,…et r1, r2,…
Adh(B(an,rn)) inclue dans (B(an-1,rn-1) ∩Xn) inclue dans (V∩(X1∩X2∩…∩Xn)

On peut choisir la suite (rn)n tel que rn<=1/n
Donc d(am,an)<=1/n pour tt m>n
Donc (an)n est de cauchy
E complet => an converge vers a
On a {an, an+1, …} inclue dans B(an,rn)
Donc adh{an, an+1, …} inclue dans adhB(an,rn) inclue dans (V∩(X1∩X2∩…∩Xn)
Or a dans adh{an, an+1, …}
Donc a dans V∩(∩Xn)

CQFD
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[invite80487107]

J’aimerai bien discuter ce théorème avec vous

[inviteaf1870ed]

Il y a un corollaire intéressant : un espace vectoriel complet peut il avoir une base infinie dénombrable ?

[invite2e5fadca]

En TD on a aussi démontré que si l'on prend une suite de fonction continue (fn) définit sur X qui tend simplement vers f sur X, alors l'ensemble des points de continuité de f est dense dans X.

Sinon on peut aussi démontrer qu'il existe des fonction continue partout nulle part part dérivable, et de plus que cette ensemble est dense dans l'espace des fonction continue.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite80487107]

si on remplace espace complet par un espace metrique sa marche ou pas ??

[invite769a1844]

si on remplace espace complet par un espace metrique sa marche ou pas ??

Non pas toujours, suite à la conséquence du lemme de Baire donnée par ericc, on peut penser à IR[X] muni d'une métrique.

[invite4ef352d8]

Salut !

en revanche tu peut remplacer "espace métrique complet" par espace topologique compact, ou meme espace topologique localement compact.

ce théorème a un liste impressionante de conséquence, dont certain sont tres surprenante... par exemple le th de Banach-steinhaus, ainsi que tous ceux qui ont été cité avant.