Etude de fonction

[invitef3dd8bd8]

Bonjour tout le monde ! Je fais appel à vous car je suis complètement bloquée sur un exo d'analyse sur les fonctions -_-

Alors: f est définie par
quelque soit (x,y)€R² |f(x)-f(y)|<= b |x-y|
0<b<1
g est définie par g(x):=f(x)-x pour tout x réel

Montrez que g est décroissante..

Ce que j'ai essayé :
Pour montrer que g est décroissante montrons que si x<y alors g(x)>g(y)
soit f(x)-x>f(y)-y
ou encore f(x)-f(y)>x-y (ce qu'il faut prouver)

Soient x et y avec x<y
x-y<0 |x-y|= -(x-y)

D'où :
|f(x)-f(y)|<= -b(x-y)<x-y

Mais on trouve f(x)-f(y)<x-y que lorsque f(x)-f(y)>0 donc que lorsque f est décroissante...
Jme suis donc dit que l'on peut montrer que f est décroissante...mais comment ?

En bref..j'aimerais un coup de main =) soit en me donnant une autre piste de départ soit en me montrant comment montrer que f est décroissante !
Merci d'avance !
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[invitef3dd8bd8]

Up !

[inviteaf1870ed]

f n'est pas forcément décroissante : f(x)=x/2 répond à ta condition.

Voici ce que je te suggère : suppose comme tu l'as fait que y>x et écrit g(y)-g(x)=f(y)-f(x)-(y-x). Appelons A=f(y)-f(x) et B=(y-x).

Tu dois donc évaluer A-B, où tu sais que B est positif.

[invitef3dd8bd8]

Si j'ai bien compris...

Soit x<y
x-y<0

|f(y)-f(x)|>= f(y)-f(x)
D'apres la définition de f;

b|x-y|>=|f(y)-f(x)|>=f(y)-f(x)
-b(x-y)>=f(y)-f(x)

D'où (x-y)<f(x)-f(y) car b€]0;1[

ou g(x)>f(y)
Donc g est décroissante !

Is it okay ?

[A voir en vidéo sur Futura]