Etude de fonction

[invitefd0e1b49]

Salut tout le monde

Dans un exo j'ai cette fonction :


Donc définie, continue, dérivable sur R avec :


Seulement comme montrer que cette dérivée est positive (a priori c'est le cas) ?

J'ai tenté de mettre au même dénominateur (positif) et étudier le numérateur mais ça donne une fonction encore plus compliquée...

Comme je pourrais procéder ?

Merci d'avance à tous
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[invited34f3bcf]

tu mets exp(x) en facteur puis tu utilise que log(x+1)>=x pour tout x positif ou nul.
bon je te laisse la reste du reponse

[invitefd0e1b49]

Oui mais non ^^

Déjà c'est pas plutôt : ln(x+1) < x ?

Or j'arrive à :


Déjà est-ce que c'est correct ?

Et ensuite je n'arrive toujours pas à conclure à partir de ça...

[invited34f3bcf]

ah oui desolé, ça ne mène à rien
bon si je trouve qlq chose je te contacterai
c quoi le domaine de ton fonction?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitefd0e1b49]

Le domaine ? De définition ?

Clairement R

Merci pour ton aide en tout cas.

[invited34f3bcf]

Le domaine ? De définition ?

Clairement R

Merci pour ton aide en tout cas.

bon essaye ces trois choses indépedamment l'une a l'autre :
-utiliser log(x+1)>=x-((x au carré)/2)
-faire la dérivée de ce qui tu obtient en mettant exp(x) en facteur
-faire la dérivée seconde de f
voilà des idées que je ne sais pas s'il donnent une solution.essaye donc

[inviteaf1870ed]

Voici ce que je te propose :
Pose u=e^-x, ta fonction devient
1/u[ln(1+u)-u/(1+u)] avec u>0
Etudies la fonction g(u) = ln(1+u)-u/(1+u) pour u>0, cela devrait te donner la solution. Pour te faciliter encore plus la tache, tu peux noter que u/1+u=1-1/1+u...

[invite62ffc9d0]

tu mets exp(x) en facteur puis tu utilise que log(x+1)>=x pour tout x positif ou nul.
bon je te laisse la reste du reponse

poser 1+exp(-x)=y puis f'x)=g(y)=(yln(y)-y+1)/y(y-1)
puis verifier que h(y)=yln(y)-y+1>0 car h'=ln puis g>o car y>1 puis...