Bonjour,
je sais qu'il existe un critère sur la réductibilité (je sais pas si c'est très français) des polynômes à coefficients dans Z qui consiste à le "projeté" dans un Z/pZ. Mais, je n'arrive pas à me souvenir des hypothèses précisent et des conclusions (en particulier, si on obtient des informations pour la décomposition dans Q).
Pourriez-vous me redonner l'énoncé précis de ce critère??
Merci d'avance.
Je ne sais pas si ca repond a ta question, mais il existe un algorithme de factorisation des polynomes dans Z (ou dans Q, ce qui revient au meme), qui consiste a :
- factoriser P dans un certain Z/pZ pour un p bien choisi, par exemple avec l'algorithme de Berlekamp
- remonter cette factorisation dans un Z/p^n Z pour un n suffisamment grand grace au lemme de Hensel
- On sait broner les coefficients des facteurs de P, donc ca donne un sens au "n suffisamment grand", une fois qu'on l'a atteint, la factorisation dans Z/p^n Z donne une factorisation sur Z.
Houla, le critère auquel je pensais est bien plus simple que ça, mais je vais quand même regarder si je trouve plus de détails sur ton algorithme.
Bonjour,
Il y a un exercice consacré entièrement au critère dont tu parles dans le Ortiz. (Exercices d'Algèbre, Ellipses) (le chapitre sur les anneaux ou sur les corps, me rappelle pas).
Pour la page de cours qui s'y rapporte, regarde le bouquin de la même collection : "Cours d'Algèbre" de je sais plus qui.
Si je me souviens bien, si tu réduis modulo un p qui ne divise pas le coefficient dominant de ton polynôme et que le polynôme obtenu est réductible dans Z/pZ[X], alors le polynôme initial est réductible dans Z[X].
Si ton polynôme est irréductible modulo ton p, tu ne peux rien dire et tu essaies avec un autre p (en général on ne dépasse pas p=5...).
Enfin vérifie quand même parce que si ca se trouve c'est un critère d'irréductiblité et non de réductiblité, je ne me souviens plus et je n'ai pas le bouquin sous la main pour le moment...
Bon en fait c'est un critère pour montrer qu'un polynôme est irréductible dans Z[X]....
