Problème sur les calculs d'intégrales par les résidus

[invite1e4db456]

Bonsoir,

Je suis étudiant en L3 maths, et j'ai quelques soucis concernant la méthode des résidus.

On me demande dans un exercice de déterminer les pôles avec leur ordres de multiplicité, puis de calculer les résidus correspondant, de la fonction suivante :

f: z --> 1/(sin z +1)

J'ai -Pi/2 comme pôle de multiplicité 2....

Je calcule donc le résidu correspondant avec :

Rés (f, -Pi/2) = Lim d/dz ( (z+Pi/2)^2*f(z))
et je trouve 0, ce que je trouve incohérent (car l'intégrale serait alors nulle)...

Deuxièmement : Une démonstration introuvable sur le net ni dans mon cours qui balance la formule comme ça :

On distingue 5 types d'intégrales calculables par la méthode des résidus : cf wikipedia
http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...s_r%C3%A9sidus

Pour la 4ème du type R(x)/x puissance alpha, on a un facteur :

( 1 - exp (- 2i*Pi*Alpha) ) * l'intégrale = 2*i*Pi Somme des résidus....

J'ai bien observé le contour sur lequel on intégre, et je ne vois pas d'ou sort l'exponentielle....


Merci de m'éclairer !! J'ai les partiels dans 3 jours
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[invite57a1e779]

Bonsoir,
f: z --> 1/(sin z +1)

J'ai -Pi/2 comme pôle de multiplicité 2....

Je calcule donc le résidu correspondant avec :

Rés (f, -Pi/2) = Lim d/dz ( (z+Pi/2)^2*f(z))
et je trouve 0, ce que je trouve incohérent (car l'intégrale serait alors nulle)...

En posant , il vient qui est une fonction paire. Le développement de Laurent autour de de ne contient que des termes de degrés pairs, et le résidu est bien nul.

Je ne vois pas pourquoi les résidus, et les intégrales qu'ils permettent de calculer ne pourraient pas être nuls.

Pour la 4ème du type R(x)/x puissance alpha, on a un facteur :

( 1 - exp (- 2i*Pi*Alpha) ) * l'intégrale = 2*i*Pi Somme des résidus....

J'ai bien observé le contour sur lequel on intégre, et je ne vois pas d'ou sort l'exponentielle....

Tout le problème vient de ce que, lorsque l'on parcourt un cercle centré à l'origine, l'argument de varie de , et la valeur de change.