cauchy-lipschitz

[invitefa636c3d]

bonjour,
voila en bossant mon cours sur les equa diff ordinaires (en anglais qui plus est), j'ai un peu de mal à saisir certains points et à m'y retrouver:

-on nous a donné un théoréme de cauchy-lipschitz version locale du problème de cauchy (x'(t)=F(t,x(t)) et x(to)=xo) en supposant F localement lipschitzienne continue par rapport à x sur I(croix)A avec A ouvert de R^n et I intervalle de R
on me dit donc que le pb de cauchy a une unique solution au voisinage de to dans I

-après avoir regardé un peu ailleurs j'ai trouvé un autre énoncé de ce même théoreme qui dit que sous les mêmes hypothèses il existe une unique solution maximale de l'équa diff et que cette fonction maximale n'admet pas de limite au bord de l'intervalle où elle est définie, si ce bord est fini et n'est pas le bord de l'intervalle de definition de F

en fait le problème c'est que je ne comprends pas bien cette histoire de solution maximale :est-ce que la solution d'une equa diff est toujours maximale? mes deux énoncés du théoreme sont ils équivalents? la dernière phrase du deuxième énoncé est assez obscure pour moi aussi...

pouvez vous m'aider dans cette "jungle" de cauchy-lipschitz and co

merci
jameso
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[invite9c9b9968]

en fait la notion de maximalité est équivalente à dire " je ne peux pas agrandir mon intervalle" ; car pour les équadiff quelconques, une solution de l'équation n'est pas simplement une fonction f, mais un couple (f,I) où I est l'intervalle où f est solution.

Ainsi, le théorème de Cauchy-Lipschitz te dis que sur U ouvert de où f est comme tu le dis, pour tout couple on a unicité de la solution maximale du problème de Cauchy y'=f(t,y) et , avec J intervalle ouvert.

Cela veut dire que toute autre solution est une restriction de la solution maximale :

C'est en ce sens qu'il y a unicité de la solution maximale. Cela implique alors l'unicité locale

Julien

[invite4793db90]

Salut,

pour la deuxième partie de l'énoncé, il me semble que dans un sens, on ne peut pas agrandir l'intervalle du fait de singularités d'où la présence de limites non bornées au bord.

Un peu comme dans les disques de convergence pour les fonctions holomorphes.

Enfin, c'est une image, mais je crois que c'est grosso modo ce que dit le théorème.

[invitefa636c3d]

merci beaucoup julien et martini bird pour vos précisions;
je me demandais aussi si une solution maximale partait nécéssairement toujours à l'infini ??

je crois savoir que d'après "le principe de majoration à priori" une solution maximale est, soit définie sur I tout entier ,soit "explose" en temps fini... (exemple classique x'=x² et x(0)=1)

donc ma question est si ma solution est globale, (ie définie sur I tout entier) que se passe-t-il ? ça dépend des cas ?

amicalement
jameso

[A voir en vidéo sur Futura]