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Un petit peu de topologie, là



  1. #1
    julien_4230

    Un petit peu de topologie, là


    ------

    Bonjour tout le monde !! comment ça va ?

    Alors, soit (E,||.||) un evn et A une partie de E.

    A est dense dans E signifie que l'ensemble des points adhérents à A vaut E.

    Maintenant, on a dit en première année de prépa que Q est dense dans IR. J'aimerais raccrocher cela à la définition topologique.
    Alors tout point adhérent de Q appartient à IR, i.e. toutes les fractions sont réelles, puisque, en effet, pour tout q de Q, toute boule ouverte BO(a,r) contient un point de IR (c'est ce que l'on apprend depuis la seconde).
    On peut dire alors que IN aussi est dense dans IR? IR dense dans IC?

    Merci !

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    Médiat

    Re : Un petit peu de topologie, là

    Citation Envoyé par julien_4230 Voir le message
    Alors tout point adhérent de Q appartient à IR, i.e. toutes les fractions sont réelles, puisque, en effet, pour tout q de Q, toute boule ouverte BO(a,r) contient un point de IR (c'est ce que l'on apprend depuis la seconde).
    C'est parce que toutes les boules ouvertes dans IR contiennent un rationnel que IQ est dense dans IR.


    Citation Envoyé par julien_4230 Voir le message
    On peut dire alors que IN aussi est dense dans IR?
    Non
    Citation Envoyé par julien_4230 Voir le message
    IR dense dans IC?
    Non

    Ces deux non sont faciles à saisir avec la bonne définition
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  4. #3
    julien_4230

    Re : Un petit peu de topologie, là

    Mais attendez je pourrais peut-être réfléchir deux secondes, bordel.
    soient n entier, x réel et c complexe.

    q+x appartient à Q.
    n+x appartient à IR.
    c+x appartient à IC.

    J'ai envie de noter que :
    q=p/r avec p,r entiers.

    q+x=p/r+x=(p+rx)/r, donc effectivement q+x appartient à Q.
    n+x, par exemple 1+0.5=1.5 est réel, et cet exemple suffit pour dire que n+x n'appartient pas à IN. Il appartient donc à IR.
    Même raisonnement pour c+x.

    Merci ! Merci ! hé hé hé.

    @(racine de)+

  5. #4
    thepasboss

    Re : Un petit peu de topologie, là

    Bonjour,

    Euh puis-je te demander une explication sur ce que tu as écrit Julien ? Parce que je ne vois pas trop le rapport avec la densité à priori ^^

    Ah sinon pour x réel et q rationnel, x+q n'est pas forcement rationnel.
    (par exemple Pi + 1/2 ne l'est pas)

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    jobherzt

    Re : Un petit peu de topologie, là

    Il me semble qu'il ya une confusion des ton premier message : la definition dit : l'ensemble des points adherants a A vaut E (ce qui est la definition correcte de la densité)

    Tu traduis ca dans le cas de Q par : tout point adherant de Q est dans R.

    Deja on parle bien de point adherant à un ensemble, ce qui sous entend a juste titre qu'il n'appartiennent pas forcement a cette ensemble. Ensuite on ne veut pas simplement qu'ils soient tous dans R, mais bien qu'ils forment R tout entier.

    Comme on est dans un espace metrique, l'adherence de Q peut aussi se voir comme l'ensemble des limites de suites d'element de Q, qui est bien R par definition de R.

    D'un point de vue purement topologique, la caracterisation de Médiat est la bonne : toute boule ouverte centré en un reel contient un rationnel, donc tout fermé qui contient Q contient aussi tous les reels.

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