du nouveau sur le problème des portes

[invite4793bfc9]

Rappel: soient trois portes, une qui va au paradis, deux qui vont en enfer. Vous en choisissez une sans l'ouvrir. Moi, j'en ouvre une des deux qui restent. Il se trouve qu'elle va en enfer. Vous avez la possibilité de changer de porte pour aller au paradis. Que faites-vous? il semble que le fait de savoir à l'avance ce qu'il y a derrière la porte que j'ouvre après que vous en avez choisi une, ne change rien. en effet, si vous acceptez de changer votre choix, vous ne perdez que si votre choix initial était le bon. c'est-à-dire si vous avez gagné au jeu du "j'ai une chance sur trois". La porte qui reste , c'est le complément à 1, soit 2/3. Il faut donc changer de porte, même dans le cas où: j'en ouvre une, et il se trouve qu'elle va en enfer
-----

[yat]

Je ne suis pas d'accord. Ton raisonnement ne tient pas compte des probabilités conditionnelles.

Mais mettons-nous bien d'accord, ici quand tu ouvres une des deux portes restantes, tu ne sais pas ou se trouve la porte du paradis, n'est-ce pas ? Si tu le sais et que tu ouvres volontairement une porte menant en enfer, alors effectivement j'ai intérêt à changer de porte. Mais je te propose d'examiner en détail ce qui se passe dans la situation ou toi aussi, tu ouvres une porte au hasard :

Je choisis une porte. J'ai une chance sur trois d'avoir choisi la porte du paradis, et deux sur trois d'avoir choisi une porte menant aux enfers. On a donc deux situations :

-La porte que j'ai choisie mène au paradis. Quoi que tu fasses, la porte que tu ouvres mène en enfer.
-La porte que j'ai choisie mène en enfer. Tu as une chance sur deux d'ouvrir une porte menant aux enfers.

Il s'agit donc, sachant que la porte que tu as ouverte mène aux enfers, de déterminer laquelle des deux situation sest la plus probable.
Dans le premier cas, j'avais une chance sur trois, et toi tu ouvrais une porte infernale à tous les coups, donc ce cas de figure avait une chance sur trois de se présenter.
Dans le deuxième cas, j'avais deux chances sur trois, mais sachant que ma porte menait aux enfers, tu avais une chance sur deux seulement d'ouvrir une porte infernale. Ca nous fait donc là encore une chance sur trois pour ce cas de figure.
Bien entendu, la chance sur trois qu'il reste correspond à la situation ou tu ouvres une porte menant au paradis.

Mais quoi qu'il en soit, sachant que tu as ouvert une porte menant aux enfers, il y a une chance sur deux qu'on soit dans la première situation et une chance sur deux qu'on soit dans la deuxième.

Dans le précédent fil à ce sujet, j'avais énuméré l'ensemble des situations possibles équiprobables. En éliminant les cas ou tu ouvres la porte du paradis, on retombe bien sur notre 1/2.
Si tu veux, tu peux faire l'essai. Tu répètes l'expérience suffisamment de fois pour que ça te donne une idée de la probabilité. Tu as itérêt à faire un programme qui fait quelques milliers d'essais pour commencer à avoir quelque chose de concluant.

J'essaye de le formuler différemment, un peu plus simplement : En effet, en changeant de porte, je ne perds que si le choix initial était bon. Mais si le choix initial était mauvais, il faut tenir compte du fait qu'il y avait une chance sur deux pour que tu ouvres une porte menant au paradis.

[matthias]

Et il y a quoi de nouveau ?
Ce jeu ne pose aucun problème, sinon de montrer que la notion intuitive de probabilté chez l'homme ne correspond pas à la réalité.

[matthias]

Non.
Le raisonnement initial est bon. Pas besoin de compliquer avec des probabilités conditionnelles qui bien utilisées donnent le résultat : 2/3 de chances en changeant de porte.

[A voir en vidéo sur Futura]

[yat]

Non.
Le raisonnement initial est bon. Pas besoin de compliquer avec des probabilités conditionnelles qui bien utilisées donnent le résultat : 2/3 de chances en changeant de porte.

Fais l'essai, tu te rendras bien compte que tu te trompes. Je suis formel. Les probabilités conditionnelles sont nécessaires pour considérer des situations équiprobables.

[yat]

Pour faciliter un peu la tâche aux incrédules, on peut étendre le raisonnement à une dizaine de portes, on verra d'autant plus facilement que la probabilité de gagner en changeant de porte converge vers 1/2, et pas 9/10

[matthias]

Considère le problème comme ça:
Tu tiens pour un fait acquis que tu changes de porte. C'est un choix de stratégie et tu veux l'évaluer.
Si tu choisis la bonne porte au premier coup, tu es sûr de perdre.
Si tu choisis la mauvaise porte au début, tu es sûr de gagner.
=> 2/3

[yat]

Considère le problème comme ça:
Tu tiens pour un fait acquis que tu changes de porte. C'est un choix de stratégie et tu veux l'évaluer.
Si tu choisis la bonne porte au premier coup, tu es sûr de perdre.
Si tu choisis la mauvaise porte au début, tu es sûr de gagner.
=> 2/3

J'ai déjà considéré le problème de bien plus de manières que tu ne sembles l'imaginer (voir le fil initial). On aboutit inéxorablement à 1/2.

Sérieusement, fais l'essai. Prends des cartes à jouer, des gobelets et des billes ou tout ce que tu veux. Si tu as le courage de faire suffisamment d'expériences, garde le problème à trois portes, et si tu veux te rendre plus vite compte des choses, étends-le à autant que tu peux.

Maintenant, pour me répéter encore une fois de plus, si j'ai choisi la mauvaise porte au début, tu avais une chance sur deux d'ouvrir la porte menant au paradis. Il faut tenir compte de ça pour que ton raisonnement ait quelque chose à voir avec la réalité.

[yat]

Allez, j'essaye encore un autre moyen...

Les trois situations équiprobables qui peuvent se présenter sont :
-je choisis la bonne porte, tu ouvres une mauvaise (P=1/3*1)
-je choisis une mauvaise porte, tu ouvres l'autre mauvaise (P=2/3*1/2)
-je choisis une mauvaise porte, tu ouvres la bonne. (P=2/3*1/2)

Il est donc évident que les deux situations ou tu as ouvert une mauvaise porte sont équiprobables, et donc que j'ai exactement une chance sur deux de gagner en changeant de porte comme en restant sur mon premier choix.

[zoup1]

J'ai l'impression que matthias n'a pas vu ce qu'il y avait de nouveau dans le problème message#3, il faut dire que ce n'est pas très clair dans la question initiale. Il me semble cependant que la réponse de Yat est extrêment claire sur cette différence. matthias, as tu lu la réponse de Yat ?

[matthias]

Mea maxima culpa
Je n'avais effectivement pas vu que dans ce cas, la deuxiéme personne ne connaissait pas la porte menant au paradis....
désolé

[invite4793bfc9]

je ne te propose pas de changer de porte à tous les coups! c'est là qu'il y a un malentendu. Je te propose de changer de porte uniquement dans le cas où moi, de mon côté, après ton choix, non seulement je choisis, mais j'ouvre une porte qui va en enfer. Je comprends bien tes calculs, mais ils ne débutent pas de cette situation initiale là. Ils débutent plus tôt dans le jeu, au moment où tu choisis une porte, et que j'en choisi une à mon tour, et pas au moment où j'ai déjà ouvert. Si la situation initiale est: tu as choisi et j'ai moi-même choisi sans ouvrir, je suis ok: proba changement gagnant= 1 sur 2. Mais moi je n'ai pas choisi sans ouvrir, comme toi, j'ai choisi et j'ai ouvert et c'est la mauvaise porte!

[g_h]

"Je te propose de changer de porte uniquement dans le cas où moi, de mon côté, après ton choix, non seulement je choisis, mais j'ouvre une porte qui va en enfer."

Donc si tu ouvres la porte qui va au paradis, on a pas le droit de changer.

Calculons :
a, b mauvaises portes
c bonne porte

- je choisis a
* tu ouvres b -> je change je gagne
* tu ouvres c -> je perds, pas le droit de changer

- je choisis b
* tu ouvres a -> je change, je gagne
* tu ouvres c -> je perds, pas le droit de changer

- je choisis c
* tu ouvres a -> je change, je perds
* tu ouvres b -> je change, je perds

Si je change, je gagne 2 fois sur 6, soit 1 fois sur 3


Cette version du jeu est encore différente des autres que tu as exposées avant. Soit tu n'as pas compris toi-même les règles de ce jeu, soit tu n'arrives pas à nous les exprimer clairement.

Il faut mieux poser la question, ne dis pas : "il se trouve qu'elle va en enfer", mais dis : "à chaque fois, j'ouvre une porte qui va en enfer car je sais ce qui se trouve derrière les portes"
Ainsi l'ambiguité est levée. On en avait déjà parlé sur l'autre topic.
Et c'est seulement ainsi que je maximise mes chances de gagner.

[yat]

je ne te propose pas de changer de porte à tous les coups! c'est là qu'il y a un malentendu. Je te propose de changer de porte uniquement dans le cas où moi, de mon côté, après ton choix, non seulement je choisis, mais j'ouvre une porte qui va en enfer. Je comprends bien tes calculs, mais ils ne débutent pas de cette situation initiale là. Ils débutent plus tôt dans le jeu, au moment où tu choisis une porte, et que j'en choisi une à mon tour, et pas au moment où j'ai déjà ouvert. Si la situation initiale est: tu as choisi et j'ai moi-même choisi sans ouvrir, je suis ok: proba changement gagnant= 1 sur 2. Mais moi je n'ai pas choisi sans ouvrir, comme toi, j'ai choisi et j'ai ouvert et c'est la mauvaise porte!

Tout ça ne change rien à l'affaire. Ce qui s'est passé avant que tu ouvres la porte est primordial pour connaitre les probabilités d'avoir choisi la bonne ou la mauvaise porte. Si on énumère toutes les situations possibles, se situer après que tu aies ouvert la porte sur l'enfer correspond juste à éliminer toutes les situations dans lesquelles tu aurais ouvert une porte sur le paradis. Il en reste autant de situations ou la porte du paradis est la première choisie que de situations ou c'est celle qui reste. Sans le moindre doute.

Je ne le répéterai jamais assez : fais l'essai !

Puisque les raisonnements logiques ne te convainquent pas, et que je ne vois vraiment plus dans quel sens le tourner, tu n'as plus qu'à vérifier par l'expérience. Je pense que quelques dizaines de tests devraient te permettre d'avoir une idée de la probabilité.

[yat]

"Je te propose de changer de porte uniquement dans le cas où moi, de mon côté, après ton choix, non seulement je choisis, mais j'ouvre une porte qui va en enfer."

Donc si tu ouvres la porte qui va au paradis, on a pas le droit de changer.

Calculons :
a, b mauvaises portes
c bonne porte

- je choisis a
* tu ouvres b -> je change je gagne
* tu ouvres c -> je perds, pas le droit de changer

- je choisis b
* tu ouvres a -> je change, je gagne
* tu ouvres c -> je perds, pas le droit de changer

- je choisis c
* tu ouvres a -> je change, je perds
* tu ouvres b -> je change, je perds

Si je change, je gagne 2 fois sur 6, soit 1 fois sur 3

Euh... seulement 4 de ces situations équiprobables correspondent à l'énoncé. On gagne donc 2 fois sur 4.

[invite35c04340]

hé hé hé....

allez faire un tour là:
http://www.ratiatum.com/forum/index....dpost&p=506905
y a une simulation en C téléchargeable ici:

http://www.ratiatum.com/forum/index....4&#entry508254

amusez-vous...

[yat]

hé hé hé....

allez faire un tour là:
http://www.ratiatum.com/forum/index....dpost&p=506905
y a une simulation en C téléchargeable ici:

http://www.ratiatum.com/forum/index....4&#entry508254

amusez-vous...

Ca c'est l'énoncé du premier fil. On est tous tombés d'accord que dans ces conditions il valait mieux changer. Maintenant le problème est différent. Relis le début de mon premier post.

[yat]

Bon, pour la simulation, c'est vraiment pas compliqué. Voilà un petit exemple en C :

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

//joue une partie, renvoie 1 si gagné, 0 si perdu, 
//-1 si la situation ne correspond pas a l'enonce
int partie(void)
  {
  int paradis;
  int choisie;
  int ouverte;

  paradis=rand()%3; //on tire au sort la porte du paradis parmi 3
  choisie=rand()%3; //on tire au sort la porte choisie parmi 3
  ouverte=rand()%2; //on tire au sort la porte ouverte parmi 2
  if(choisie<=ouverte) ouverte++; //conversion du choix parmi 2 en numero de porte
  
  //pour finir on renvoie la valeur obtenue
  if(paradis==ouverte) return(-1);
  if(choisie==paradis) return(1);
  return(0);
  }
//partie

//point d'entree du programme : demande le nombre d'essais,
//les effectue et affiche les stats
void main(void)
  {
  int i;
  int nbgagne;
  int nbperdu;
  int essais;
  int res;

  printf("Nombre d'essais ?\n");
  scanf("%d",&essais);

  nbgagne=0;
  nbperdu=0;
  for(i=0;i<essais;i++)
    {
    res=partie();
    if(res==1)nbgagne++;
    if(res==0)nbperdu++;
    }
  //for
  printf("%d parties correspondant a l'enonce\n",nbgagne+nbperdu);
  printf("%d parties gagnees, %d parties perdues\n",nbgagne,nbperdu);
  printf("%d%% de chances de gagner\n",nbgagne*100/(nbgagne+nbperdu));
  }
//main

Dans cet exemple, je calcule la probabilité de gagner si on reste sur le premier choix.
Avec un million d'essais, voilà ce que j'obtiens :

Nombre d'essais ?
1000000
666465 parties correspondant a l'enonce
333432 parties gagnees, 333033 parties perdues
50% de chances de gagner
Press any key to continue

[invite4793bfc9]

manifestement vous devez être meilleur en maths que moi. Je correspond depuis quelques jours avec pfz, celui qui fait le site sur les énigmes dont l'adresse est dans le précédent fil. Je lui oppose ce que vous me dites, et il me dit que non. Je veux viens vous croire (yat, g h et les autres). Je ne vois pas ce qui cloche dans son raisonnement. Où est-ce que c'est faux quand il dit: "si je change, je ne perds que dans le cas où j'avais choisi la bonne porte; c'est-à dire 1 fois sur trois."Pour moi si je perds une fois sur trois en changeant, c'est que je gagne deux fois sur trois en changeant; le complément à 1 est donc sur la porte qui reste. Tous vos raisonnements me paraissent nonobstents bons aussi. Nécessairement , soit lui soit vous avez tort. Si personne ne me convainc par la raison, je vais effectivement faire l'essai moi-même. Où alors il faut simplement me dire où est-ce qu'il y a sophisme dans le raisonnement de pfz. Salut, onesteph

[invite35c04340]

Bien noté, Yat.

Pour le problème de ce fil, je pense que vous n'êtes pas d'accord sur le protocole expérimental.

Appelons A la personne qui fait le premier choix et B celle qui ouvre une des 2 portes restantes au hasard. L'experience se termine par le choix final de A, qui peut changer de porte s'il le souhaite.

Vous considérez 2 cas différents, il me semble, comme le note Stéphone:

1er cas: A a connaissance de ce qui se trouve derrière la porte que B a ouverte, i.e. l'enfer ou le paradis sont visibles par l'entrebaillement de la porte ouverte par B

2nd cas: le fait que B ouvre une porte n'apporte pas d'information à A, cela ne fait que supprimer une des portes possibles. B ne divulgue pas à A ce qui se cache derrière la porte qu'il (B) vient d'ouvrir.

Dans le 2nd cas, je suis d'accord que la proba passe à 1/2, puisque le choix se réduit à 2 portes sans autre information nouvelle.

Rappellons que dans le problème original, B ouvrait à coup sûr une porte menant aux enfers. Cela était possible quel que soit le choix de A. La probabilité de gain de A en changeant était établie à 2/3

On étudie le cas numéro 1, qui est le vrai "nouveau" cas.

On calcule la probabilité de gain de A, si A suit la stratégie suivante:

- Si B ouvre l'enfer, A change pour la 3eme porte non-choisie par A ou B.
- Si B ouvre le paradis, A choisit le paradis (évidemment !).

A choisit l'enfer 2 fois sur 3 lors de son premier choix.

On suppose une configuration donnée:
Porte 1 = Enfer (E)
Porte 2 = Paradis (P)
Porte 3 = Enfer (E)

Les choix de A et B sont notés dans le tableau ci-dessous:


A B A Resultat
-------------
1 2 2 succes
1 3 2 succes
2 1 3 echec
2 3 1 echec
3 1 2 succes
3 2 2 succes

Soit un succes dans 2 cas sur 3.

[invite35c04340]

@Yat: ton programme ne tient compte d'aucune stratégie. vous n'êtes pas d'accord sur l'énoncé, toi et le posteur original, il me semble...

[yat]

manifestement vous devez être meilleur en maths que moi. Je correspond depuis quelques jours avec pfz, celui qui fait le site sur les énigmes dont l'adresse est dans le précédent fil. Je lui oppose ce que vous me dites, et il me dit que non. Je veux viens vous croire (yat, g h et les autres). Je ne vois pas ce qui cloche dans son raisonnement. Où est-ce que c'est faux quand il dit: "si je change, je ne perds que dans le cas où j'avais choisi la bonne porte; c'est-à dire 1 fois sur trois."Pour moi si je perds une fois sur trois en changeant, c'est que je gagne deux fois sur trois en changeant; le complément à 1 est donc sur la porte qui reste. Tous vos raisonnements me paraissent nonobstents bons aussi. Nécessairement , soit lui soit vous avez tort. Si personne ne me convainc par la raison, je vais effectivement faire l'essai moi-même. Où alors il faut simplement me dire où est-ce qu'il y a sophisme dans le raisonnement de pfz. Salut, onesteph

pfz, sur son site, expose le problème que tu présentais dans l'aurte fil (même si on a mis un peu de temps à se mettre d'accord sur l'énoncé). Il a donc tout à fait raison de maintenir que dans le cas qu'il présente, changer son choix permet d'avoir 2 chances sur 3 de gagner.

Considérant le problème tel qu'il a été présenté en début de ce fil, la situation n'est pas la même. Je pense l'avoir déjà expliqué plein de fois, mais parmi les deux fois sur trois ou on est sensés gagner selon ton raisonnement, il y a un cas sur deux ou tu auras ouvert la porte du paradis.

C'est un problème de probabilités conditionnelle assez comparable à celui du test d'une maladie. Imagine qu'on ait un test qui se révèle positif pour 99% des malades et sur 1% des sains, et négatif sur 1% des malades et sur 99% des sains.

Tu passes le test, et tu es positif. A première vue tu pourrais penser que tu as 99% de chances d'être malade. C'est là que les probabilités conditionnelles entrent en jeu : si, par exemple, un individu sur 10000 est réellement atteint de la maladie, sur une population d'un million de personnes, on a 100 malades. Sur ces 100 malades, 99 vont être positifs et 1 négatif.
Mais sur les 999900 individus sains, 9999 vont être positifs. On se rend alors compte que dans ces conditions, un individu testé positif aura en réalité moins d'1% de chances d'être réellement malade.

Ici c'est un peu la même chose, on est obligé de tenir compte des probabilités conditionnelles : Sachant que j'ai choisi la bonne porte, tu ne pouvais qu'ouvrir une porte menant aux enfers. Par contre, sachant que j'ai choisi une mauvaise porte, tu avais une chance sur deux de tomber sur la bonne.
Si on retourne le truc, on se rend bien compte que dans la mesure ou tu as ouvert une porte des enfers, il est d'autant moins probable que j'ai choisi la bonne porte dès le départ.

Mais si tu regardes les choses un peu plus simplement, tu te rends compte que la porte que tu ouvres, ça peut être n'importe laquelle, puisque toutes les combinaisons sont equiprobables. Ce que tu fais revient donc à ouvrir une porte au hasard, et à constater qu'elle mene en enfer. Il s'agit ensuite de choisir une des deux restantes, et ce n'est pas avec un raisonnement un peu tordu qu'on empêchera ces deux portes d'avoir exactement la même probabilité de mener au paradis.

[yat]

@Yat: ton programme ne tient compte d'aucune stratégie. vous n'êtes pas d'accord sur l'énoncé, toi et le posteur original, il me semble...

Non, au contraire, on s'est bien mis d'accord sur l'énoncé. Il y avait un doute dans le premier fil, mais ici on parle bien de la même chose, comme dit dans le premier post et confirmé dans le mien.

Pour la stratégie, je l'ai dit : c'est celle de rester sur son premier choix.

[yat]

On suppose une configuration donnée:
Porte 1 = Enfer (E)
Porte 2 = Paradis (P)
Porte 3 = Enfer (E)

Les choix de A et B sont notés dans le tableau ci-dessous:


A B A Resultat
-------------
1 2 2 succes
1 3 2 succes
2 1 3 echec
2 3 1 echec
3 1 2 succes
3 2 2 succes

Soit un succes dans 2 cas sur 3.

Non, les situations 1 et 6 ne correspondent pas à l'énoncé. Il n'y a donc que 4 situations valides, et sur ces 4, on a une chance sur deux de gagner.

[invite4793bfc9]

les situations qui correspondent à l'énoncé sont: 1 3 1= échec
1 3 2=succés ; 2 1 3=echec : 2 1 2= succés ; 2 3 2= succés 2 3 1=echec
3 1 3=echec 3 1 2=succés ; Donc si je maintiens,je perds 2 fois et je gagne 2 fois. Si je change, je gagne 2 fois et je perds 2 fois. Ah ouais. alors vous voyez bien qu'il ne faut pas changer!!!!!!!!

[yat]

les situations qui correspondent à l'énoncé sont: 1 3 1= échec
1 3 2=succés ; 2 1 3=echec : 2 1 2= succés ; 2 3 2= succés 2 3 1=echec
3 1 3=echec 3 1 2=succés ; Donc si je maintiens,je perds 2 fois et je gagne 2 fois. Si je change, je gagne 2 fois et je perds 2 fois. Ah ouais. alors vous voyez bien qu'il ne faut pas changer!!!!!!!!

Donc on est d'accord, non ?

[invite4793bfc9]

ouais ouais. je m'avoue vaincu.