Bonsoir à tous! voila l'autre jour en cours de physique sur le dipôle (R,C), notre prof nous expliquait un petit peu l'intégrale en terme graphique comme étant la somme de tout les rectangles de largeur dx et donc il y a une question qui me turlupine depuis un moment c'est
comment est-on arrivé à définir que la somme des rectangles pour approcher une courbe est égale à la primitive de la fonction définissant la courbe ?
Merci,
Karim,
Bonsoir,
commençons avec un cas simple: un système qui se déplace a vitesse constante Vo.
Il part à une position Xo, et on a de manière évidente meme si tu n'as pas fais beaucoup de physique, X(t) = Xo + Vo*t .
Cela correspond à l'aire sous la courbe V(t) entre 0 et t, + Xo
Maintenant si V dépend du temps : V(t) ca se complique un peu.
Sur un instant très très court dt, on peut considérer que la vitesse est constante. A t + dt, on a donc x(t + dt) = x(t) + V(t) * dt
Donc x(t) est égal à Xo + la somme de tout les V(t) * dt.
La primitive de la vitesse, donc la position est égale à l'aire sous la courbe entre 0 et t + Xo.
CQFD
Mais ce que je veux dire c'est comment faire le lien entre ces rectangles que l'on "somme" avec la primitive F d'une fonction f ayant pour courbe Cf ! je ne sais pas trop comment expliquer plus clairement...Envoyé par mytikjuve
Si j'ai bien compris on somme tout les rectangles d'aire dx * la hauteur de chaque rectangle mais chaque hauteur de rectangle varie en fonction de la courbe au dessus
Je vais essayer de réexpliquer mas je risque grandement de me répéter.
La primitive d'une fonction c'est comme la position par rapport à la vitesse.
Quand tu connais la vitesse d'un objet et sa position initiale, tu peux calculer sa position pour ton t en prenant l'intégrale entre 0 et t, c'est à dire la primitive de la vitesse qui admet X(0) = Xo.
Je t'ai montré que lorsque la vitesse est constante, cela revient a calculer l'aire sous la courbe.
Maintenant il faut généraliser cela à une vitesse quelconque.
Pour cela on fait l'hypothèse que pendant un temps dt très court, la vitesse est constante et égale à V(t). La position à t + dt est egale à x(t) + v(t)*dt soit l'aire sous la courbe entre t et t + dt.
Tu peux considérer (et mathématiquement c'est valable) que ta vitesse est une fonction en escalier avec des marches tres petites, de "profondeur" dt.
Sa primitive recherchée, donc la position, est l'aire sous la courbe.
Je vois pas trop comment t'expliquer mieux que comme ca avec l'exemple de la position et de la vitesse. Apres on tombe dans des considérations mathématiques qui sont plus compliquées
Hmm ok je vois! merci je vais essayer de voir avec ça mais sinon pour la vitesse et la position t'inquietes pas je suis bien calé sur ce sujet! mais c'est l'explication mathématique en fait qui me pose un peu problème^^
En fait le truc que je veux savoir c'est comment a-t-on trouvé que la somme des rectangles sous une courbe d'une fonction telle que f(x)=x^n par exemple est égale à la primitive F(x)=(1/n-1)x^(n+1) et donc faire le lien entre ces "rectangles"(avec l'histoire des sommes de Riemann si je ne me trompe) je sais pas si ça sera plus clair
Karim,
Bonjour,
Je pense que tu as voulu dire 1/(n+1) * x^(n+1) !!
Une primitive d'une fonction est l'aire sous la courbe, entre 0 et x (par exemple) + une constante. Je pense que tu 'as compris avec les vitesses et position.
Maintenant pour calculer cette aire, il faut une astuce. On dit en fait que toute fonction est limite d'une suite de fonction en escalier. Tu divise ton intervalle [0,x] en n morceaux, et tu prend la fonction qui est egale à f en p*x/n avec p entier inferieur à n-1 et constante sur l'intervalle [p*x/n; (p+1)*x/n]. Quand n tend vers l'infini, alors ta nouvelle fonction est égale à celle de départ, et tu peux calculer l'aire en faisant la somme de tes petits rectangle, et donc trouver une primitive de ta fonction de départ.
Le problème c'est que souvent la somme des petits rectangles est trop compliquée à calculer, donc on raisonne dans l'autre sens.
On part du principe que la primitive est grosso modo la "réciproque" de la dérivé, qui est plus simple à calculer en général. Donc quand tu cherche la primitive d'une fonction f tu te demande quelle est la fonction qui admet f comme dérivé. Cela suppose de connaitre les dérivés de pas mal de fonction.
Voilà si un spécialiste de l'histoire des math pourrait venir nous expliquer la démarche historique ça serait sympa!!
Après pour les cas "simples" comme x^n il y a la possibilité de démontrer le résultat par récurrence avec une intégration par partie. Mais il y a peut être plus simple, je ne sais pas.
Sinon l'idée des rectangle sert surtout au formalisme, et au calcul approché par ordinateur (mais on connais mieux, comme les trapèzes par ex)
J'espere avoir répondu un peu mieux ta question.
Oui c'était 1/n+1 pardon^^ mais sinon ouais sinon ça m'aide un peu plus déjà merci!
